Иррациональные уравнения: задания с ответами

Решаем иррациональное уравнение по стандартному алгоритму: сначала выделяем корень, затем возводим обе части в квадрат и обязательно проверяем ответ.

1. Сначала рассмотрим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \tfrac12\).

Кроме того, левая часть \(\sqrt{2x-1}\) всегда неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной:

\(x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2\).

Итак, для возможных решений нужно хотя бы \(x\ge 2\).

2. Возводим обе части в квадрат. Это можно делать только после того, как мы учли, что обе части неотрицательны. Получаем:

\(2x-1=(x-2)^2\).

Раскроем скобки:

\(2x-1=x^2-4x+4\).

Переносим всё в одну сторону:

\(x^2-6x+5=0\).

Разложим на множители:

\((x-1)(x-5)=0\).

Отсюда \(x=1\) или \(x=5\).

3. Проверяем найденные корни. Для иррациональных уравнений проверка обязательна, потому что при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни.

Проверим \(x=1\): правая часть \(x-2=-1\), а корень не может быть равен отрицательному числу. Значит, \(x=1\) не подходит.

Проверим \(x=5\):

\(\sqrt{2\cdot 5-1}=\sqrt{9}=3\), а \(5-2=3\). Равенство верно.

Значит, единственное решение — \(5\).

Ответ: \(5\).

Как не потерять балл на ЕГЭ База: всегда помните два шага — проверка области допустимых значений и проверка корней после возведения в квадрат. Самая частая ошибка — взять оба корня из квадратного уравнения, не проверив их в исходном уравнении.

Рассмотрим уравнение \(\sqrt{2x-3}=1\).

Главное свойство квадратного корня: \(\sqrt{A}\ge 0\) при любом допустимом значении \(A\). Поэтому правая часть уравнения тоже должна быть неотрицательной. В нашем случае справа стоит число \(1\), значит по знаку противоречия нет.

Теперь решаем уравнение стандартным способом: возводим обе части в квадрат. Это можно делать, потому что обе части неотрицательны.

\[\sqrt{2x-3}=1 \Rightarrow 2x-3=1.\]

Решаем линейное уравнение:

\[2x=4, \quad x=2.\]

Проверим ответ, чтобы не потерять балл из-за лишнего решения:

\[\sqrt{2\cdot 2-3}=\sqrt{1}=1.\]

Равенство верно, значит \(x=2\) — правильный ответ.

Как действовать на ЕГЭ База:

• сначала посмотрите на правую часть: если там отрицательное число, решений сразу нет, потому что корень не может быть отрицательным;
• если правая часть неотрицательна, можно возводить в квадрат;
• после этого обязательно делайте проверку.

Типичная ошибка: возвести в квадрат и сразу взять все найденные корни без проверки. В иррациональных уравнениях это может привести к неверному ответу, если появился лишний корень. Здесь проверка подтверждает, что решение одно и оно верное.

Рассмотрим уравнение \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{3}\). Это уравнение с корнем в знаменателе, поэтому начинать нужно не с механического преобразования, а с проверки области допустимых значений.

1. Найдём ОДЗ. Поскольку в знаменателе стоит \(\sqrt{x}\), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а сам знаменатель — не равным нулю. Значит, \(x>0\).

2. Уберём знаменатель. Так как обе части уравнения положительные, можно умножить обе части на \(3\sqrt{x}\) или просто выразить корень. Удобнее сделать так:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \sqrt{x}=3\).

Здесь мы «перевернули» дроби, потому что если \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\) и оба знаменателя ненулевые, то \(a=b\). В нашем случае это допустимо, так как \(\sqrt{x}>0\) при \(x>0\).

3. Возведём в квадрат. Получаем:

\(x=3^2=9\).

4. Проверим ответ. Подставим \(x=9\) в исходное уравнение:

\(\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}\), то есть \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\). Ответ верный.

Ответ: \(9\).

Как не потерять балл на ЕГЭ База: всегда помните про ОДЗ для корня в знаменателе: \(x\) должно быть строго положительным. Затем аккуратно избавляйтесь от корня и обязательно делайте проверку. В таких заданиях часто ошибаются, если забывают, что \(\sqrt{x}\neq 0\) и нельзя подставлять \(x=0\). Ещё одна типичная ошибка — неверно возводить в квадрат только одну часть или терять знак при преобразованиях. Здесь решение простое, и самый надёжный способ — сначала выразить корень, потом возвести в квадрат и проверить ответ подстановкой.

Это уравнение относится к простым иррациональным уравнениям: неизвестное находится под знаком корня, и нужно сначала выделить корень, а потом возвести обе части в квадрат.

Шаг 1. Изолируем корень. В уравнении 2\sqrt{3x}=6 сначала разделим обе части на 2:

\sqrt{3x}=3.

Так делать можно, потому что мы делим на ненулевое число, и равенство сохраняется.

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат. Если \sqrt{3x}=3, то после возведения в квадрат получаем:

3x=9.

Теперь решаем обычное линейное уравнение:

x=3.

Шаг 3. Проверяем ответ. Для иррациональных уравнений проверка обязательна, потому что при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни. Подставим x=3 в исходное уравнение:

2\sqrt{3\cdot 3}=2\sqrt{9}=2\cdot 3=6.

Равенство верно, значит x=3 — правильный ответ.

Ответ: 3.

Как не терять баллы на ЕГЭ База:

• Сначала всегда выделяйте корень, если это возможно.
• Не забывайте про область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Здесь это условие 3x\ge 0, то есть x\ge 0, и найденный ответ ему подходит.
• После возведения в квадрат обязательно делайте проверку — это главный способ избежать ошибки из-за постороннего корня.

Решаем уравнение аккуратно, потому что в знаменателе стоит корень. Это типичная задача ЕГЭ База: сначала нужно проверить, при каких значениях уравнение имеет смысл, а затем уже преобразовывать его.

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ).

Так как в знаменателе стоит \(\sqrt{7-2x}\), подкоренное выражение должно быть строго положительным, потому что знаменатель не может быть равен нулю:

\(7-2x>0\)

\(x<\dfrac{7}{2}\)

Это важный шаг: многие ученики забывают, что для дроби с корнем в знаменателе нужно не просто \(\ge 0\), а именно > 0.

2. Избавляемся от дроби.

Уравнение:

\(\dfrac{1}{\sqrt{7-2x}}=\dfrac{1}{2}\)

Так как обе части положительны, можно безопасно обратить обе дроби:

\(\sqrt{7-2x}=2\)

Теперь возводим обе части в квадрат:

\(7-2x=4\)

3. Решаем полученное линейное уравнение.

\( -2x = 4-7 = -3\)

\(x=\dfrac{3}{2}\)

4. Проверка.

Проверим, подходит ли значение к ОДЗ:

\(\dfrac{3}{2} < \dfrac{7}{2}\)

Да, подходит. Подставим в исходное уравнение:

\(\dfrac{1}{\sqrt{7-2\cdot \frac{3}{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{7-3}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\)

Равенство верное.

Ответ: \(\dfrac{3}{2}\).

Как не потерять балл на ЕГЭ: 1) всегда сначала выписывайте ОДЗ; 2) не забывайте, что под корнем в знаменателе выражение должно быть строго положительным; 3) после преобразований обязательно делайте проверку. Это защищает от лишних ошибок, особенно если в ответ может попасть число, не подходящее по области определения.

Решим уравнение по шагам. В иррациональных уравнениях главное правило такое: сначала нужно изолировать корень, затем возвести обе части в квадрат, а после этого обязательно проверить найденное значение подстановкой в исходное уравнение или через ОДЗ.

Дано: 3·√(2x+1)=6.

1) Изолируем корень. Делим обе части уравнения на 3:

√(2x+1)=2.

Это удобно, потому что теперь с корнем стоит только одна часть уравнения.

2) Возводим обе части в квадрат. Получаем:

2x+1=4.

Теперь решаем обычное линейное уравнение:

2x=3, значит x=3/2.

3) Проверяем ответ. В иррациональных уравнениях проверка очень важна: при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни. Подставим x=3/2 в исходное уравнение:

3·√(2·3/2+1)=3·√4=3·2=6.

Равенство верно, значит x=3/2 — правильный корень.

Ответ: 3/2.

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• сначала обязательно выделяйте корень отдельно;
• после возведения в квадрат не забывайте про проверку;
• если в ответах есть вариант, полученный из-за ошибки в вычислениях, он часто выглядит правдоподобно, поэтому проверка особенно нужна;
• если после решения получается значение, при котором подкоренное выражение отрицательно, такое значение сразу отбрасывается.

Решим уравнение аккуратно, как это принято в заданиях ЕГЭ База на иррациональные уравнения.

1. Сначала учитываем область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(2x-3\ge 0\Rightarrow x\ge \frac32\).

Кроме того, левая часть \(\sqrt{2x-3}\) всегда неотрицательна. Значит, и правая часть тоже должна быть неотрицательной:

\(x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3\).

Вместе получаем: \(x\ge 3\).

2. Возводим обе части в квадрат. Это можно делать только после того, как мы учли, что обе части неотрицательны. Тогда:

\(2x-3=(x-3)^2\).

Раскроем скобки:

\(2x-3=x^2-6x+9\).

Переносим всё в одну сторону:

\(x^2-8x+12=0\).

Разложим на множители:

\((x-2)(x-6)=0\).

Отсюда получаем кандидатов: \(x=2\) или \(x=6\).

3. Проверяем ответы по ОДЗ. У нас должно быть \(x\ge 3\), значит \(x=2\) не подходит. Проверим \(x=6\):

\(\sqrt{2\cdot 6-3}=\sqrt{9}=3\), а \(6-3=3\). Равенство верно.

Ответ: \(6\).

Как не потерять баллы: в иррациональных уравнениях часто ошибаются из-за того, что после возведения в квадрат появляются посторонние корни. Поэтому всегда помните три шага: сначала ОДЗ, потом квадратирование, потом обязательная проверка подстановкой.

Решаем иррациональное уравнение по стандартному алгоритму ЕГЭ База.

1. Сначала учитываем область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(2x-3\ge 0\), значит \(x\ge 1{,}5\). Кроме того, левая часть \(\sqrt{2x-3}\) всегда неотрицательна, поэтому и правая часть тоже должна быть неотрицательной: \(x-3\ge 0\), то есть \(x\ge 3\). Вместе получаем область допустимых значений: \(x\ge 3\).

2. Возводим обе части в квадрат. Это можно делать только после того, как мы убедились, что обе части неотрицательны. Тогда:

\(\sqrt{2x-3}=x-3\)

\(2x-3=(x-3)^2\)

Раскрываем квадрат:

\(2x-3=x^2-6x+9\)

Переносим всё в одну сторону:

\(x^2-8x+12=0\)

3. Решаем квадратное уравнение. Разложим на множители:

\((x-2)(x-6)=0\)

Отсюда \(x=2\) или \(x=6\).

4. Проверяем с ОДЗ. Число \(2\) не подходит, потому что должно быть \(x\ge 3\). Проверяем \(6\):

\(\sqrt{2\cdot 6-3}=\sqrt{9}=3\), а \(6-3=3\). Равенство верно.

Значит, единственный корень уравнения — 6.

Как не потерять балл: в иррациональных уравнениях самая частая ошибка — сразу возвести в квадрат и забыть проверку. Из-за этого в ответ иногда попадает лишний корень. Всегда помните: сначала ОДЗ, потом квадрат, потом проверка.

Решим уравнение аккуратно, по шагам. В иррациональных уравнениях с корнем важно не только избавиться от корня, но и обязательно проверить найденный ответ, потому что при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю. Здесь стоит дробь \(\dfrac{36}{x+3}\), значит нужно:

1) \(x+3 \ne 0\), то есть \(x \ne -3\);

2) \(\dfrac{36}{x+3} \ge 0\).

Так как число 36 положительное, дробь будет неотрицательной только тогда, когда \(x+3>0\). Значит, \(x>-3\).

Итак, ОДЗ: \(x>-3\).

2. Уберём корень. Левая часть неотрицательна, правая часть тоже положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

\(\left(\sqrt{\dfrac{36}{x+3}}\right)^2=3^2\).

Получаем:

\(\dfrac{36}{x+3}=9\).

3. Решим полученное уравнение. Умножим на \(x+3\):

\(36=9(x+3)\).

\(36=9x+27\).

\(9x=9\).

\(x=1\).

4. Проверка. Подставим \(x=1\) в исходное уравнение:

\(\sqrt{\dfrac{36}{1+3}}=\sqrt{9}=3\).

Равенство верно, значит ответ подходит.

Ответ: 1.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: всегда сначала смотрите на знаменатель и корень; после возведения в квадрат обязательно проверяйте корень в исходном уравнении. Это помогает избежать ошибок, если в процессе решения появятся лишние ответы.

Рассмотрим уравнение \(\sqrt{2x-5}=3\).

Главная идея здесь такая: квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому сначала можно проверить, имеет ли уравнение смысл и не нарушается ли условие для корня.

1. Найдём область допустимых значений.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(2x-5\ge 0\), откуда \(x\ge \frac{5}{2}\).

Это важно: если забыть про ОДЗ, можно получить посторонний ответ. В заданиях ЕГЭ База это одна из самых частых ошибок.

2. Возведём обе части в квадрат.
Так как справа стоит число \(3\), которое неотрицательно, можно безопасно возвести обе части в квадрат:

\(2x-5=9\).

3. Решим линейное уравнение.
\(2x=14\), значит \(x=7\).

4. Проверим ответ.
Подставим \(x=7\) в исходное уравнение:

\(\sqrt{2\cdot 7-5}=\sqrt{9}=3\).

Равенство верно, значит ответ подходит.

Ответ: \(7\).

Как быстро проверять себя на экзамене:

• если справа от корня стоит отрицательное число, решений нет;
• если справа число неотрицательное, можно возводить обе части в квадрат;
• после решения линейного уравнения обязательно подставьте ответ в исходное уравнение;
• не забывайте про ОДЗ подкоренного выражения.

Решаем уравнение \(\sqrt{2x-1}=x-1\) как типичное иррациональное уравнение. Здесь важно помнить два обязательных шага: сначала область допустимых значений, потом возведение в квадрат и проверка.

1. Находим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(2x-1\ge 0\), значит \(x\ge \frac12\).

Кроме того, левая часть — квадратный корень, а значит она всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть тоже должна быть неотрицательной:

\(x-1\ge 0\), то есть \(x\ge 1\).

Итак, для решения остаётся условие \(x\ge 1\).

2. Возводим обе части в квадрат. Это можно делать только после учёта ОДЗ, иначе можно получить посторонние корни:

\(2x-1=(x-1)^2\).

Раскроем скобки:

\(2x-1=x^2-2x+1\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2-4x+2=0\).

Найдём корни квадратного уравнения:

\(D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8\),

\(x=\frac{4\pm\sqrt8}{2}=2\pm\sqrt2\).

3. Проверяем с учётом ОДЗ. Оба полученных значения положительны, но нужно проверить, удовлетворяют ли они исходному уравнению:

Если \(x=2+\sqrt2\), то правая часть \(x-1=1+\sqrt2\), а левая \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2\). Подходит.

Если \(x=2-\sqrt2\), то \(x-1=1-\sqrt2<0\), а корень не может быть отрицательным. Значит, это посторонний корень.

Ответ: \(x=2+\sqrt2\).

Как не потерять баллы на ЕГЭ База: 1) всегда смотрите, может ли правая часть быть отрицательной; 2) после возведения в квадрат обязательно проверяйте корни; 3) если в ответах есть отрицательное число, а справа стоит корень, это часто ловушка — такой вариант обычно не подходит.

Решаем иррациональное уравнение по стандартному алгоритму для ЕГЭ База.

1. Изолируем корень. Здесь корень уже стоит отдельно: 3\sqrt{2x}=6. Делим обе части на 3:

\sqrt{2x}=2.

2. Возводим обе части в квадрат. Это можно делать, потому что обе части неотрицательны: слева квадратный корень, справа число 2. Получаем:

2x=4.

3. Находим x. Делим обе части на 2:

x=2.

4. Проверяем область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2x\ge 0, то есть x\ge 0. Число 2 подходит.

5. Проверка подстановкой. Подставим x=2 в исходное уравнение: 3\sqrt{2\cdot 2}=3\sqrt{4}=3\cdot 2=6. Равенство верно.

Ответ: 2.

Как не потерять баллы в таких заданиях: сначала упростите уравнение, потом возведите в квадрат, и обязательно проверьте ответ. Частая ошибка — забыть разделить на коэффициент перед корнем или не проверить, подходит ли найденное значение по ОДЗ.