Методы решения неравенств: задания с ответами

Решаем неравенство методом интервалов. Сначала находим критические точки — это значения, при которых выражение обращается в ноль:

x - 2 = 0 даёт x = 2, x + 1 = 0 даёт x = -1, x - 4 = 0 даёт x = 4.

Эти точки делят числовую прямую на промежутки: (-∞; -1), (-1; 2), (2; 4), (4; +∞).

Теперь определим знак произведения на каждом промежутке. У каждого множителя по одному простому корню, значит при переходе через каждую критическую точку знак произведения меняется. Удобно взять самый правый промежуток: при x > 4 все три множителя положительны, значит произведение положительно. Тогда далее знаки будут чередоваться:

(4; +∞) — «+»,
(2; 4) — «−»,
(-1; 2) — «+»,
(-∞; -1) — «−».

Так как требуется ≥ 0, нужно взять промежутки, где выражение положительно, а также те точки, где оно равно нулю. Поэтому в ответ входят промежутки [-1; 2] и [4; +∞).

Почему именно так важно поступать на ЕГЭ? Если знак неравенства строгий (> или <), граничные точки не включаются. Если знак нестрогий (≥ или ≤), корни числителя включаются, потому что в этих точках выражение равно нулю. Но если бы был знаменатель, точки, где знаменатель равен нулю, всё равно нельзя было бы включать — там выражение не определено.

Типичная ошибка — перепутать, где «плюс», а где «минус», или забыть включить корни при знаке ≥. Чтобы себя проверить, можно подставить любое число из каждого промежутка и быстро определить знак.

Решаем логарифмическое неравенство по стандартному алгоритму ЕГЭ База.

1. Сначала находим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x-1>0$, то есть $x>1$.

Это очень важный шаг: если забыть ОДЗ, можно получить лишние ответы.

2. Учитываем основание логарифма. Здесь основание равно 2, а число 2 больше 1. Значит, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства при переходе к аргументу сохраняется.

Получаем эквивалентное неравенство:

$x-1>2^3$.

3. Решаем обычное неравенство. Так как $2^3=8$, то

$x-1>8$, откуда $x>9$.

4. Сравниваем с ОДЗ. Нужно одновременно выполнить и ОДЗ $x>1$, и полученное неравенство $x>9$. Совместное решение — $x>9$.

Ответ: (9; +∞).

Как себя проверять на экзамене: если основание логарифма больше 1, знак неравенства не меняется; если основание между 0 и 1, знак нужно менять. И обязательно проверяйте аргумент логарифма: он должен быть строго положительным, а не неотрицательным.

Решим неравенство по шагам:

1. Приведём правую часть к той же основе. Основание слева — \(\frac{1}{3}\). Заметим, что \(\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3\). Тогда неравенство можно переписать так:

\[\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^3.\]

2. Определим, как ведёт себя показательная функция. Если основание показательной функции находится между 0 и 1, то функция убывает. Это очень важный момент: при сравнении степеней с таким основанием знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный.

3. Сравним показатели. Так как \(0<\frac{1}{3}<1\), из неравенства

\[\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^3\]

получаем

\[x < 3.\]

4. Запишем ответ в виде промежутка. Множество решений — все числа, меньшие 3:

\[(-\infty; 3).\]

Почему здесь легко ошибиться? Многие по привычке оставляют знак неравенства без изменения, как будто основание больше 1. Но при основании между 0 и 1 происходит наоборот: чем больше показатель, тем меньше значение степени. Поэтому знак обязательно меняется.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: если основание дробное, меньше 1, сразу вспоминайте: функция убывает, значит знак при сравнении показателей меняется. Если же основание больше 1 — функция возрастает, и знак сохраняется.

Итак, правильный ответ: \(x<3\), то есть \((-\infty;3)\).

Решаем неравенство методом анализа знаков. Здесь важно помнить главное правило: квадрат выражения (x - 2)² не бывает отрицательным. Он равен нулю только при x = 2, а при всех других x положителен.

Имеем неравенство:

(x - 2)²(x + 1) < 0.

Так как множитель (x - 2)² > 0 при x ≠ 2, знак произведения на этих промежутках определяется только множителем (x + 1). Чтобы произведение было отрицательным, нужно, чтобы

x + 1 < 0, то есть x < -1.

Теперь проверим, можно ли включать точку x = -1. Нет, нельзя, потому что неравенство строгое: при x = -1 произведение равно 0, а нам нужно именно < 0.

Также нужно обратить внимание на точку x = 2. При x = 2 произведение тоже равно 0, но эта точка и так не попадает в найденный промежуток x < -1.

Итак, множество решений:

(-∞; -1).

Почему это типичная ловушка на ЕГЭ База? Многие ошибочно пишут, что решение зависит от двух корней -1 и 2 как от обычного произведения, не замечая, что квадратный множитель (x - 2)² не меняет знак. На самом деле он только “обнуляет” выражение в точке x = 2, но не делит числовую прямую на разные знаковые промежутки.

Как быстро проверять себя: если в произведении есть квадратный множитель, сначала определите, где он равен нулю, а где положителен. Потом смотрите на оставшиеся множители. Для строгого неравенства точки, где всё обращается в ноль, в ответ не включаются.

Решим неравенство методом интервалов. Это один из самых надёжных способов для квадратных неравенств, записанных в виде произведения множителей.

1) Сначала найдём, при каких значениях x каждый множитель обращается в ноль:

x - 2 = 0 → x = 2,
x + 4 = 0 → x = -4.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: (-∞; -4), (-4; 2) и (2; +∞).

2) Теперь определим знак произведения на каждом промежутке. Удобно помнить правило: если множителей два и у них разные корни, то знак произведения меняется при переходе через каждый корень. Можно также проверить на любом удобном числе из промежутка.

Возьмём, например, число x = 0 из промежутка (-4; 2):

(0 - 2)(0 + 4) = (-2)·4 = -8, то есть на этом промежутке произведение отрицательно.

А так как нужно (x - 2)(x + 4) < 0, нас интересуют именно те значения x, где произведение отрицательно. Значит, подходит промежуток (-4; 2).

3) Почему концы не входят в ответ? Потому что знак неравенства строгий: < 0. В точках x = -4 и x = 2 произведение равно нулю, а ноль не подходит при строгом неравенстве.

Ответ: (-4; 2).

Как не потерять балл на ЕГЭ:

• сначала обязательно находите корни каждого множителя;
• отмечайте их на числовой прямой;
• не путайте строгие и нестрогие неравенства: при < и > корни не включаются, при ≤ и ≥ включаются;
• проверяйте знак на одном промежутке, а не пытайтесь угадывать весь ответ.

Если в подобных заданиях вы видите произведение двух линейных множителей, почти всегда самый быстрый путь — метод интервалов.

Решим неравенство методом интервалов. Для дроби важно учитывать две вещи: где числитель равен нулю и где знаменатель равен нулю.

1. Найдём критические точки.

Числитель \(x-1=0\) при \(x=1\). В этой точке дробь равна нулю, и так как знак неравенства нестрогий (\(\ge 0\)), точка 1 входит в ответ.

Знаменатель \(x+2=0\) при \(x=-2\). В этой точке выражение не определено, поэтому \(-2\) обязательно исключаем.

2. Разобьём числовую прямую на интервалы: \((-∞,-2)\), \((-2,1)\), \((1,+∞)\).

3. Определим знак дроби на каждом интервале.

- Если \(x<-2\), то \(x-1<0\) и \(x+2<0\), значит дробь положительна.

- Если \(-2<x<1\), то \(x-1<0\), а \(x+2>0\), значит дробь отрицательна.

- Если \(x>1\), то \(x-1>0\) и \(x+2>0\), значит дробь положительна.

Нам нужны значения, где дробь неотрицательна, то есть положительна или равна нулю. Значит, подходят интервалы \((-∞,-2)\) и \([1,+∞)\).

Ответ: \((-∞,-2)\cup[1,+∞)\).

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• не забудьте исключить точки, где знаменатель равен нулю;
• если знак \(\ge\) или \(\le\), точки, где числитель равен нулю, обычно включаются;
• обязательно проверяйте знак на каждом промежутке, а не выбирайте ответ «на глаз».

Решим неравенство аккуратно, по шагам. Здесь важно помнить две вещи: область допустимых значений и монотонность логарифма.

1. Найдём ОДЗ. Логарифм существует только тогда, когда его аргумент положителен:

2x − 1 > 0, откуда x > 1/2.

Это обязательный шаг. Если его пропустить, можно получить лишние ответы.

2. Учитываем основание логарифма. Основание 1/3 лежит между 0 и 1, значит функция y = log_1/3(t) убывает. А это означает, что при переходе к показательной форме знак неравенства меняется.

Имеем:

log_1/3(2x − 1) > 2

равносильно

2x − 1 < (1/3)² = 1/9.

3. Решаем обычное неравенство.

2x − 1 < 1/9

2x < 10/9

x < 5/9.

4. Пересекаем с ОДЗ. Нужно одновременно выполнять x > 1/2 и x < 5/9.

Получаем промежуток:

(1/2; 5/9).

Ответ: именно этот промежуток является множеством решений.

Почему часто ошибаются? Самые типичные ошибки в ЕГЭ База такие: забывают ОДЗ; не меняют знак неравенства при основании меньше 1; либо после решения не пересекают ответ с областью допустимых значений. В подобных задачах всегда действуйте по одному и тому же алгоритму: ОДЗ → монотонность → преобразование → пересечение ответов.

Как быстро проверять себя на экзамене: если основание логарифма меньше 1, то «больше» внутри логарифма превращается в «меньше» после перехода к показательной форме. Это помогает не перепутать направление знака.

Решим неравенство 2^x-3 < 8.

Сначала приведём правую часть к той же основе: 8 = 2³. Тогда получаем

2^x-3 < 2³.

Теперь используем главное свойство показательной функции: если основание a > 1, то функция a^x возрастает. Значит, при одинаковом основании знак неравенства сохраняется, и можно сравнить показатели:

x - 3 < 3.

Решаем обычное линейное неравенство:

x < 6.

Следовательно, множество решений — все числа, меньшие 6.

Ответ: (-∞; 6).

Как не потерять балл на ЕГЭ: сначала обязательно перепишите числа в виде одинаковых степеней, потом проверьте основание. Если основание больше 1, знак неравенства сохраняется; если основание лежит между 0 и 1, знак меняется на противоположный. Это самая частая ошибка в таких заданиях. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что 8 нужно заменить на 2³, и пытаться сравнивать числа без приведения к одной основе.

Решим неравенство $\frac{x-1}{x+2}\ge 0$ по стандартному алгоритму для дробно-рациональных неравенств.

1. Сначала находим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $x\ne -2$. Это важный шаг: точка $-2$ никогда не входит в ответ, даже если по знакам она кажется подходящей.

2. Находим критические точки. Числитель равен нулю при $x=1$. Знаменатель обращается в ноль при $x=-2$. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки: $(-\infty ,-2)$, $(-2,1)$, $(1,\infty )$.

3. Определяем знак дроби на каждом промежутке. Удобно смотреть на знаки числителя и знаменателя отдельно.

• Если $x<-2$, то $x-1$ отрицателен, и $x+2$ тоже отрицателен. Отношение положительно.
• Если $-2<x<1$, то числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Отношение отрицательно.
• Если $x>1$, то и числитель, и знаменатель положительны. Отношение положительно.

Нам нужно $\ge 0$, то есть подходят промежутки, где дробь положительна, а также точки, где она равна нулю. Равенство нулю возможно только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это точка $x=1$, и она подходит.

4. Записываем ответ. Получаем $(-\infty ,-2)\cup [1,\infty )$.

Почему часто ошибаются? Самые частые ошибки — забывают исключить точку, где знаменатель равен нулю; не включают нуль числителя при знаке $\ge$; или путают знаки на промежутках. Чтобы себя проверить, достаточно подставить по одному числу из каждого промежутка: например, $-3$, $-1$, $2$.

Решим неравенство методом интервалов. Для дроби важно найти критические точки: это значения, при которых числитель равен нулю или знаменатель равен нулю.

1) Числитель равен нулю при \(x-1=0\), значит \(x=1\). В этой точке дробь равна нулю.

2) Знаменатель равен нулю при \(x+2=0\), значит \(x=-2\). Эту точку нельзя включать в ответ, потому что при \(x=-2\) выражение не имеет смысла.

Отметим точки \(-2\) и \(1\) на числовой прямой. Они делят её на три промежутка:

\((-∞,-2)\), \((-2,1)\), \((1,\infty)\).

Проверим знак дроби на каждом промежутке:

• если \(x<-2\), то \(x-1<0\) и \(x+2<0\), значит дробь положительна;
• если \(-2<x<1\), то \(x-1<0\), а \(x+2>0\), значит дробь отрицательна;
• если \(x>1\), то \(x-1>0\) и \(x+2>0\), значит дробь положительна.

Нам нужно, чтобы дробь была больше нуля, значит подходят промежутки, где знак положительный: \((-∞,-2)\) и \((1,\infty)\).

Ответ: \((-∞,-2)\cup(1,\infty)\).

Как не потерять балл в таких заданиях:

• всегда сначала находите нули числителя и знаменателя;
• точку, где знаменатель равен нулю, никогда не включайте в ответ;
• если знак неравенства строгий (\(>\) или \(<\)), точку, где числитель равен нулю, тоже не включают;
• если сомневаетесь, быстро проверяйте знак на каждом промежутке подстановкой удобного числа.

Типичная ошибка — включить \(x=-2\) в ответ или забыть про промежуток \((-∞,-2)\), потому что там оба множителя отрицательны, а дробь всё равно положительна.

Решаем квадратное неравенство по стандартному алгоритму.

1. Найдём корни квадратного трёхчлена.
Разложим выражение на множители:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Тогда неравенство принимает вид:

(x - 2)(x - 3) < 0.

2. Определим, где произведение отрицательно.
Произведение двух множителей отрицательно тогда, когда множители разных знаков. Для произведения с корнями 2 и 3 это происходит между корнями.

То есть решение:

2 < x < 3.

3. Почему именно так?
У квадратного трёхчлена с положительным коэффициентом при x² ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение положительно вне корней и отрицательно между корнями. Так как знак неравенства строгий (< 0), сами корни не входят в ответ.

Ответ: промежуток (2; 3).

Как не потерять балл на ЕГЭ: всегда сначала находите корни, затем смотрите на знак неравенства и не забывайте: при строгих знаках < и > границы не включаются, а при ≤ и ≥ включаются. Частая ошибка — перепутать промежутки или случайно записать корни вместе с решением.

Решаем неравенство методом интервалов. Для дроби важно найти критические точки: где числитель равен нулю и где знаменатель равен нулю.

1) Числитель \(x-2=0\) при \(x=2\). В этой точке дробь обращается в ноль.

2) Знаменатель \(x+3=0\) при \(x=-3\). Эта точка не входит в решение, потому что на ней дробь не определена.

Отмечаем точки \(-3\) и \(2\) на числовой прямой. Они делят её на три промежутка:

\((-∞,-3)\), \((-3,2)\), \((2,+∞)\).

Проверим знак дроби на каждом промежутке. Удобно помнить: знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя.

• Если \(x<-3\), то \(x-2<0\) и \(x+3<0\), значит дробь положительная.
• Если \(-3<x<2\), то \(x-2<0\), а \(x+3>0\), значит дробь отрицательная.
• Если \(x>2\), то \(x-2>0\) и \(x+3>0\), значит дробь снова положительная.

Нужно, чтобы дробь была больше нуля, значит подходят промежутки, где знак положительный: \((-∞,-3)\cup(2,+∞)\).

Почему не включаем точки -3 и 2? Точку \(-3\) нельзя включать, потому что знаменатель равен нулю. Точку \(2\) тоже не включаем, потому что неравенство строгое: нужно \(>0\), а не \(\ge 0\).

Ответ: \((-∞,-3)\cup(2,+∞)\).

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: после нахождения критических точек обязательно ответьте на два вопроса: 1) где дробь не определена; 2) где дробь положительна или отрицательна. Частая ошибка — включить точку разрыва в ответ или перепутать знак на среднем промежутке.