Неравенства на числовой прямой: задания с ответами

Нужно определить, какому из данных отрезков принадлежит значение выражения 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}.

В заданиях такого типа на ЕГЭ База не требуется находить корни точно до десятых и сотых. Достаточно уметь оценивать их значения и сравнивать результат с границами отрезков.

Сначала прикинем значения корней:

\sqrt{5} \approx 2{,}24, потому что 2² = 4, а 3² = 9, значит корень из 5 находится между 2 и 3 и ближе к 2.

\sqrt{2} \approx 1{,}41, потому что 1² = 1, а 2² = 4, значит корень из 2 находится между 1 и 2 и ближе к 1.

Теперь подставим приближённо:

2 + 2{,}24 - 1{,}41 = 2{,}83.

Число 2{,}83 лежит на отрезке [2; 3], а это отрезок № 2.

Ответ: 2.

Как проверять себя быстро:

• сначала отдельно оцените каждый корень;
• не забывайте, что знак «+» увеличивает число, а знак «−» уменьшает;
• после вычисления обязательно сравните результат с границами всех отрезков.

Типичная ошибка — слишком грубо округлить корни. Например, если взять \sqrt{5} ≈ 2 и \sqrt{2} ≈ 1, получится 2 + 2 - 1 = 3, и можно ошибочно подумать о другом отрезке. Поэтому лучше помнить более точные приближённые значения или хотя бы понимать, с какой стороны от целых чисел находятся корни.

Решая такие задания, важно не подставлять случайное число вместо параметра, а сравнивать выражения в общем виде. Здесь известно только, что m > 4, и этого достаточно, чтобы установить порядок всех четырёх выражений.

Шаг 1. Сравним выражения по смыслу.

1) m
2) m + 2
3) m^2 / 4
4) sqrt(m) + 3

Так как m > 4, то:

• m больше 4;
• m + 2 ещё больше, чем m;
• для m > 4 имеем m/2 > 2, значит m^2/4 = (m/2)^2;
• sqrt(m) меньше m, но к нему прибавляется 3, поэтому это выражение нужно сравнивать отдельно.

Шаг 2. Удобно взять минимально возможную границу и понять порядок.

При m > 4 число sqrt(m) больше 2, значит sqrt(m) + 3 > 5. А m > 4, но его точное значение может быть как меньше, так и больше 5. Поэтому сравним выражения более аккуратно:

m и sqrt(m) + 3: при m > 4 обычно m становится больше, чем sqrt(m)+3, потому что линейное выражение растёт быстрее корня. Проверим на уровне неравенства:

Пусть x = sqrt(m), тогда x > 2 и m = x^2. Получаем сравнение x^2 и x + 3. Для x > 2 верно x^2 > x + 3, потому что
x^2 - x - 3 = (x - 2)(x + 1) + 1 > 0.

Значит m > sqrt(m) + 3.

Теперь сравним m + 2 и m^2/4. Так как m > 4, то m/2 > 2, а значит m^2/4 = (m/2)^2 заметно больше m. Проверим:

m^2/4 - (m+2) = (m^2 - 4m - 8)/4.

При m > 4 это выражение положительно, значит m^2/4 > m+2.

Итак, получаем порядок:

sqrt(m) + 3 < m < m + 2 < m^2/4.

Шаг 3. Сопоставим с точками.

Точки A, B, C, D расположены слева направо по возрастанию. Значит:

• A — самое маленькое значение;
• B — следующее;
• C — третье;
• D — самое большое.

Следовательно:

1) m — B
2) m + 2 — C
3) m^2 / 4 — D
4) sqrt(m) + 3 — A

Ответ: строка с соответствием 1–B, 2–C, 3–D, 4–A.

Как не терять баллы в таких заданиях:

• не подставляйте «удобное» число, если в условии задано неравенство — часто важно именно общее сравнение;
• сначала выясните, какое выражение растёт быстрее: корень, линейное, квадрат;
• если есть условие на параметр, обязательно используйте его;
• помните: слева на числовой прямой — меньшее значение, справа — большее.

Нужно определить, в какой из данных отрезков попадает значение выражения 3+\sqrt{5}.

Шаг 1. Оценим корень. Число \sqrt{5} лежит между 2 и 3, потому что 2^2=4, а 3^2=9, значит 2<\sqrt{5}<3. Более точно, \sqrt{5}\approx 2{,}24.

Шаг 2. Прибавим 3. Тогда

3+\sqrt{5}\approx 3+2{,}24=5{,}24.

Это число больше 5, но меньше 6, значит оно принадлежит отрезку [5;6].

Шаг 3. Выбираем номер отрезка. Отрезок [5;6] — это 2.

Ответ: 2.

Как быстро решать такие задания на ЕГЭ База: сначала прикиньте значение корня, затем аккуратно сложите или вычтите целое число и сравните с границами отрезков. Частая ошибка — взять слишком грубую оценку и перепутать соседние интервалы. Ещё важно помнить, что если число равно границе отрезка, то оно тоже принадлежит отрезку, потому что здесь даны отрезки, а не интервалы без скобок.

Нужно проверить, попадает ли число 0,75 в один из предложенных промежутков. Для этого всегда делаем два шага: сравниваем число с границами промежутка и внимательно смотрим, включены ли границы.

Шаг 1. Переведём число в удобный вид. Число 0,75 — это обычная десятичная дробь. Его легко сравнивать с 0,5; 1; 0,8 и другими числами.

Шаг 2. Сравним с границами каждого варианта.

A: (0,7; 0,75) — это открытый промежуток, значит число 0,75 не входит, потому что правая граница не включена.

B: [0,75; 1) — это полуинтервал: левая граница включена, правая нет. Число 0,75 равно левой границе, значит оно принадлежит этому промежутку.

C: (0,75; 1] — здесь левая граница не включена, поэтому 0,75 не входит.

D: [0,5; 0,75) — правая граница не включена, значит 0,75 не входит.

Ответ: число 0,75 принадлежит промежутку [0,75; 1).

Как не терять баллы на ЕГЭ: если число совпадает с границей, сразу проверьте скобку. Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная — что входит. Это самый частый источник ошибок в заданиях на числовой прямой.

Сначала нужно оценить значение выражения, потому что в заданиях такого типа главное — не вычислить всё точно до десятичных знаков, а понять, между какими целыми числами лежит число.

Рассмотрим выражение:

3 + √2 - √5.

Знаем, что √2 ≈ 1,41, а √5 ≈ 2,24. Тогда

3 + 1,41 - 2,24 = 2,17.

Получили число примерно 2,17.

Теперь сравним его с отрезками:

• [1; 2] — не подходит, потому что 2,17 больше 2;
• [2; 3] — подходит, если бы число было между 2 и 3. Но здесь важно внимательно читать условие: отрезки не просто идут подряд, а нумеруются. Число 2,17 действительно лежит на отрезке [2; 3].
• [3; 4] и [4; 5] — слишком большие значения, туда 2,17 не попадает.

Значит, правильный ответ — 2.

Как решать такие задачи быстро на ЕГЭ База:

1. Оцените корни: √2, √3, √5, √7 обычно удобно помнить приближённо.
2. Подставьте приближённые значения и найдите примерное число.
3. Сравните результат с границами отрезков.

Частая ошибка — перепутать знаки при вычитании корней или слишком грубо округлить число. Например, если вместо √5 взять 2, получится 3 + 1,41 - 2 = 2,41 — это тоже лежит в [2; 3], но в некоторых задачах такая грубая оценка может привести к ошибке на границе. Поэтому лучше запоминать корни с точностью хотя бы до сотых.

Итак, число 3 + √2 - √5 принадлежит отрезку [2; 3], то есть отрезку 2.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится значение корня, не нужно вычислять его точно. Для заданий ЕГЭ База удобнее всего сравнить подкоренное выражение с квадратами ближайших целых чисел.

Ищем такие соседние целые числа n и n+1, что выполняется

n² < 45 < (n+1)².

Проверим ближайшие квадраты:

6² = 36, а 7² = 49.

Так как 36 < 45 < 49, то после извлечения корня получаем:

6 < √45 < 7.

Значит, значение корня √45 расположено между числами 6 и 7.

Как не ошибиться: не пытайтесь сразу «угадать» ответ на глаз. Сначала найдите два соседних квадрата. Это самый надежный способ для таких заданий. Частая ошибка — взять не соседние числа или перепутать квадрат числа с самим числом. Например, 6 < 45 < 7 писать нельзя, потому что сравнивать нужно именно с 6² и 7².

Быстрая проверка перед ответом: если под корнем число больше квадрата меньшего числа и меньше квадрата следующего, значит корень действительно лежит между ними.

Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число, нужно понять, какой целый «слева» от него, а какой «справа» на числовой прямой.

Для числа −2,7 это легко увидеть: оно меньше −2, но больше −3. Действительно, на числовой прямой числа расположены так:

−3 < −2,7 < −2.

Значит, число −2,7 находится между −3 и −2.

Правильный ответ: −3 и −2.

Как себя проверять в таких заданиях на ЕГЭ База:

• если число отрицательное, не забывайте, что чем оно меньше по модулю, тем оно больше на числовой прямой;
• для десятичной дроби удобно сначала сравнить её с ближайшими целыми числами;
• ответ должен быть именно двумя соседними целыми, то есть они отличаются на 1.

Типичная ошибка — написать −4 и −3, если просто «округлять вниз» без внимательного сравнения. Проверка всегда одна: должно выполняться двойное неравенство вида a < x < b.

Чтобы понять, между какими соседними целыми числами находится \(\sqrt{41}\), удобно сравнить число 41 с квадратами ближайших целых чисел.

Ищем такие числа \(k\) и \(k+1\), чтобы выполнялось:

\(k^2 < 41 < (k+1)^2\).

Проверим ближайшие квадраты:

\(6^2 = 36\), а \(7^2 = 49\).

Видно, что

\(36 < 41 < 49\).

Значит,

\(6 < \sqrt{41} < 7\).

Следовательно, число \(\sqrt{41}\) лежит между 6 и 7.

Как быстро решать такие задания на ЕГЭ База: не пытайтесь сразу вычислять корень. Достаточно найти два соседних целых числа, квадраты которых «обрамляют» подкоренное число. Это быстрее и надежнее. Если подкоренное число не является точным квадратом, корень всегда будет лежать строго между двумя соседними целыми числами.

Частая ошибка: брать числа, которые не являются соседними, или сравнивать сам корень с квадратами без записи двойного неравенства. Правильная проверка всегда такая: сначала сравниваем подкоренное число с квадратами, потом делаем вывод о корне.

Нужно определить, между какими соседними целыми числами лежит значение логарифма. Для этого удобно сравнить аргумент логарифма с соседними степенями основания.

Основание здесь равно 3, а это число больше 1. Значит, функция y = log₃ x возрастает. Поэтому можно искать такие степени числа 3, между которыми находится число 20.

Считаем степени:

3² = 9, 3³ = 27.

Видим, что

3² < 20 < 3³, то есть

9 < 20 < 27.

Тогда логарифм удовлетворяет неравенству

2 < log₃ 20 < 3.

Значит, значение логарифма находится между числами 2 и 3.

Как быстро проверять такие задания на ЕГЭ База:

• сначала убедитесь, что основание логарифма больше 1;
• потом найдите две соседние степени основания;
• если аргумент между ними, то и логарифм лежит между соответствующими показателями степеней.

Типичная ошибка — перепутать порядок чисел или попытаться сравнивать сам логарифм с аргументом напрямую. Сравнивать нужно именно аргумент с степенями основания.

Сначала нужно оценить значение параметра \(t=\ln 2\). Важно помнить, что \(\ln 2\) — это положительное число, причём оно меньше 1: действительно, \(e^1\approx 2{,}718\), а значит, чтобы получить 2, нужно брать число меньше 1. В школьных задачах часто достаточно знать приближение \(\ln 2\approx 0{,}69\).

Теперь найдём значение выражения:

\(2t+\sqrt{t}=2\cdot 0{,}69+\sqrt{0{,}69}\).

Считаем по частям: \(2\cdot 0{,}69=1{,}38\), а \(\sqrt{0{,}69}\) немного меньше 1, примерно \(0{,}83\). Тогда

\(2t+\sqrt{t}\approx 1{,}38+0{,}83=2{,}21\).

Значит, число лежит в промежутке \((2;3)\).

Почему этот способ надёжный? На ЕГЭ База часто не нужно находить точное значение до десятых и сотых, достаточно грамотно оценить выражение и сравнить его с границами промежутков. Здесь удобно сначала понять, где находится параметр: если \(t\) между 0 и 1, то \(\sqrt{t}\) больше самого \(t\), но меньше 1. Это помогает быстро прикинуть сумму без лишних вычислений.

Типичная ошибка: некоторые ученики забывают, что \(\sqrt{0{,}69}\) не равно 0{,}69, а больше него. Из-за этого можно занизить ответ и ошибочно выбрать промежуток \((1;2)\). Поэтому всегда сравнивайте корень с исходным числом: если число положительное и меньше 1, то его квадратный корень будет больше него, но тоже меньше 1.

Проверка себя: если результат около 2{,}2, он точно больше 2, но меньше 3. Значит, выбранный интервал верен.

Сначала используем главное условие: m < 0 < n. Это значит, что m — отрицательное число, а n — положительное.

Теперь разберём каждое выражение по отдельности.

I. m+n

Здесь складываются отрицательное и положительное число. Без дополнительных чисел сразу нельзя сказать, кто «победит» — модуль отрицательного может быть меньше или больше положительного. Значит, по одному только условию знак m+n не определяется однозначно. Но в заданиях такого типа обычно среди вариантов ответа предлагаются уже готовые знаки, составленные по конкретным значениям на рисунке. Поэтому важно помнить: для суммы нужен сравнительный анализ чисел.

II. mn

Произведение отрицательного и положительного числа всегда отрицательно. Значит, mn < 0.

III. m^2-n^2

Квадрат любого ненулевого числа положителен. Поэтому m^2 > 0 и n^2 > 0. Чтобы понять знак разности, сравним сами числа: так как |m| и n — положительные величины, то при типичном расположении на числовой прямой в таких задачах нужно смотреть, какой из квадратов больше. Если, например, по рисунку модуль отрицательного числа меньше положительного, то m^2-n^2<0; если больше — выражение было бы положительным. Поэтому здесь снова знак зависит от конкретного положения точек относительно нуля.

IV. 1/m + n

Так как m<0, то 1/m<0. Прибавляем к отрицательному числу положительное n. Как и в случае с суммой, знак не всегда можно определить без численного сравнения величин.

Как решать такие задания на экзамене:

• Сначала обязательно определите знак каждой переменной по положению на прямой.
• Для произведения пользуйтесь правилом: числа разных знаков дают отрицательный результат.
• Для квадратов помните: квадрат ненулевого числа всегда положителен.
• Для суммы и выражений вида 1/m+n часто нужен более точный анализ: одного только факта «плюс» и «минус» может быть недостаточно.

Типичная ошибка — автоматически ставить знак по «первому слагаемому» или считать, что если есть отрицательное число, то всё выражение отрицательно. Это неверно: при сложении важны сравнение модулей и конкретные значения.

Итак, сначала всегда выделяйте, какие выражения можно определить сразу по правилам знаков, а какие требуют сравнения чисел. Это помогает не терять баллы в базовом ЕГЭ.

В таких заданиях важно не «угадывать» по виду выражения, а сравнивать их значения. На числовой прямой точки идут слева направо в порядке возрастания, значит нужно расположить выражения по возрастанию и затем сопоставить их с точками A, B, C, D.

Посчитаем или оценим значения:

• √2 ≈ 1,41
• 2^(1/2) = √2 ≈ 1,41
• √3 ≈ 1,73
• 1 + √2/2 ≈ 1 + 0,71 = 1,71

Но здесь важно заметить, что √2 и 2^(1/2) — это одно и то же число. А по условию точки на прямой должны соответствовать разным значениям, поэтому в варианте нужно внимательно смотреть на запись. Чтобы избежать двусмысленности, в таких заданиях обычно берут разные выражения. В нашем случае правильный порядок по возрастанию такой:

√2 = 2^(1/2) < 1 + √2/2 < √3.

Значит, если точки A, B, C, D расположены слева направо, то слева должна стоять наименьшая величина, а справа — наибольшая. Вариант A как раз сохраняет этот порядок.

Почему другие варианты неверны?

• Во 2 нарушен порядок первых двух выражений: 2^(1/2) и √2 перепутаны местами, хотя они равны.
• В 3 выражение 1 + √2/2 поставлено раньше 2^(1/2), хотя оно больше.
• В 4 порядок нарушен ещё сильнее: на месте первой точки стоит самое большое из данных значений √3.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База?

1. Сначала упростите выражения: корни, степени, дроби с корнями.
2. Если нельзя сравнить точно, найдите приближённые значения.
3. Проверьте порядок слева направо: на прямой значения всегда возрастают.
4. Не забывайте, что одинаковые записи могут означать одно и то же число, например 2^(1/2) и √2.

Ответ: A.