Смешанные операции с дробями: задания с ответами

Решим выражение по шагам. Здесь важно не спешить и помнить два стандартных действия: сначала возводим десятичное число в степень, потом складываем результат со смешанной дробью.

1. Возводим десятичное число в квадрат.
\(1{,}2 = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}\). Тогда

\[(1{,}2)^2 = \left(\dfrac{6}{5}\right)^2 = \dfrac{36}{25}.\]

Можно и в десятичном виде: \(1{,}2^2 = 1{,}44\), но для ответа в виде дроби удобнее сразу получить \(\dfrac{36}{25}\).

2. Преобразуем смешанную дробь в неправильную.
\(3\dfrac{1}{4} = \dfrac{3\cdot 4 + 1}{4} = \dfrac{13}{4}.\)

3. Складываем дроби.
Приведём к общему знаменателю. Для \(\dfrac{36}{25}\) и \(\dfrac{13}{4}\) общий знаменатель — \(100\):

\[\dfrac{36}{25} = \dfrac{144}{100}, \qquad \dfrac{13}{4} = \dfrac{325}{100}.\]

Тогда

\[\dfrac{144}{100} + \dfrac{325}{100} = \dfrac{469}{100}.\]

Это и есть ответ. Дробь уже несократима, потому что 469 не делится на 2 или 5, а знаменатель 100 состоит только из этих простых множителей.

Ответ: \(\dfrac{469}{100}\).

Как не потерять балл в похожих заданиях:

• не забывайте сначала выполнить степень, а не сложение;
• смешанную дробь всегда переводите в неправильную: \(a\dfrac{b}{c}=\dfrac{ac+b}{c}\);
• если выражение получается дробным, не оставляйте ответ в виде десятичного числа, если просят дробь;
• в конце полезно проверить, можно ли сократить дробь.

Решим выражение по порядку действий.

1. Сначала возводим десятичное число в степень. Нужно вычислить (1,2)². Это значит 1,2 · 1,2 = 1,44.

2. Переводим результат в дробь. Число 1,44 = 144/100 = 36/25.

3. Преобразуем смешанную дробь в неправильную. 2 ¹/₃ = 7/3, потому что 2 = 6/3, и тогда 6/3 + 1/3 = 7/3.

4. Складываем дроби. Теперь нужно найти сумму 36/25 + 7/3. Приведём к общему знаменателю 75:

36/25 = 108/75, а 7/3 = 175/75.

Тогда

108/75 + 175/75 = 283/75.

Ответ: 283/75.

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• не перепутайте смешанную дробь с обычной: 2 1/3 — это не 21/3;
• сначала выполните степень, а уже потом складывайте;
• если получается десятичное число, удобно сразу переводить его в дробь;
• в конце проверьте, сократилась ли дробь.

Решим выражение по действиям. Важно помнить порядок операций: сначала выполняют деление, а потом сложение.

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
Число \(1\frac{1}{2}\) равно \(\frac{3}{2}\), потому что \(1\cdot 2+1=3\), знаменатель остаётся 2.

2. Заменим деление умножением на обратную дробь.
\(\frac{3}{4} \div \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\).

Сократим, где можно: тройки в числителе и знаменателе сокращаются. Получаем
\(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

3. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.
\(0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\).

4. Складываем дроби.
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Ответ: \(\frac{3}{4}\).

Как не потерять балл на ЕГЭ: всегда сначала переводите смешанное число в неправильную дробь, а десятичную — в обыкновенную. При делении дробей не делят числители и знаменатели отдельно: нужно умножать на обратную дробь. Ещё одна частая ошибка — забыть сократить результат. Если ответ получается не в виде несократимой дроби, его могут не засчитать.

Решим выражение по шагам.

1) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}.

2) Возводим дробь в квадрат:

\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}.

Важно помнить: в квадрат возводится всё смешанное число целиком, а не только дробная часть. Это одна из самых частых ошибок в заданиях ЕГЭ базового уровня.

3) Теперь переведём десятичную дробь в обыкновенную:

0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.

4) Складываем дроби:

\frac{49}{9} + \frac{2}{5} = \frac{245}{45} + \frac{18}{45} = \frac{263}{45}.

5) Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель 263 не делится на 3 или 5, а знаменатель 45 = 3²·5, значит дробь уже несократима.

Ответ: \(\frac{263}{45}\).

Как быстро себя проверить на экзамене: если после вычислений у вас получилось десятичное число или несокращённая дробь, ещё раз проверьте перевод смешанного числа и сложение дробей с общим знаменателем.

Решим выражение по порядку действий. Важно помнить правило: сначала выполняют действия в скобках, а внутри скобок — сначала степень, затем умножение, затем сложение. Деление выполняют в последнюю очередь.

Дано выражение:

\(\dfrac{5}{6} : \left( \dfrac{3}{4} \cdot \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 + \dfrac{1}{10} \right)\)

1. Возведём дробь в квадрат:

\(\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}\)

2. Выполним умножение внутри скобок:

\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{25} = \dfrac{3}{25}\)

Здесь удобно заметить сокращение: число 4 в числителе и знаменателе сокращается.

3. Сложим получившееся число с \(\dfrac{1}{10}\):

\(\dfrac{3}{25} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{50} + \dfrac{5}{50} = \dfrac{11}{50}\)

4. Теперь выполним деление:

\(\dfrac{5}{6} : \dfrac{11}{50} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{50}{11}\)

\(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{50}{11} = \dfrac{250}{66} = \dfrac{125}{33}\)

Сократили дробь на 2. Итоговый ответ:

\(\dfrac{125}{33}\)

Почему здесь часто ошибаются:

• путают порядок действий и сначала делят, хотя деление должно быть после вычисления скобок;
• ошибаются при возведении дроби в квадрат: нужно возвести в квадрат и числитель, и знаменатель;
• не приводят дроби к общему знаменателю при сложении;
• забывают сократить конечный ответ.

Как быстро проверить себя на ЕГЭ: если в середине получилось число меньше 1, а потом при делении на него результат стал больше исходной дроби, это выглядит правдоподобно. Здесь в скобках получилось \(\dfrac{11}{50}\), то есть меньше 1, поэтому \(\dfrac{5}{6}\) при делении на такую дробь действительно должно заметно увеличиться. Это помогает заметить грубую ошибку.

Сначала важно вспомнить порядок действий: деление выполняется раньше сложения. Поэтому выражение

\( \frac{5}{12} + 2\frac{1}{3} : 0{,}4 \)

нужно считать так: сначала найти частное \(2\frac{1}{3} : 0{,}4\), а потом прибавить \(\frac{5}{12}\).

1) Переведём смешанное число в неправильную дробь:

\(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).

2) Переведём десятичную дробь в обыкновенную:

\(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

3) Выполним деление дробей. Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

\(\frac{7}{3} : \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{35}{6}\).

4) Теперь складываем:

\(\frac{5}{12} + \frac{35}{6} = \frac{5}{12} + \frac{70}{12} = \frac{75}{12} = \frac{25}{4}\).

Ответ: \(\frac{25}{4}\).

Полезная проверка для ЕГЭ База: если в ответе получается смешанное число или десятичная дробь, это не ошибка по смыслу, но в задании обычно требуется именно обыкновенная дробь в сокращённом виде. Ещё одна частая ошибка — сначала сложить \(\frac{5}{12}\) и \(2\frac{1}{3}\), а потом делить на \(0{,}4\). Так делать нельзя, потому что в выражении нет скобок. Чтобы не потерять балл, всегда отдельно отмечайте: деление идёт раньше сложения, а десятичную дробь удобнее сразу переводить в обыкновенную.

Решаем выражение по порядку действий. Сначала нужно вычислить значение скобок, а уже потом делить дробь на этот результат.

1. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную. Число \(1{,}2\) удобно заменить дробью \(\frac{6}{5}\). Это помогает считать без ошибок.

2. Выполним умножение в скобках: \(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{6}=1\).

3. Теперь вычитание: \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).

Значит, знаменатель всей дроби равен \(\frac{3}{4}\).

4. Делим дробь на дробь: \(\frac{3}{5} : \frac{3}{4}=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{3}\).

Сокращаем \(3\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{5}\).

Ответ: \(\frac{4}{5}\).

Как не потерять балл на ЕГЭ База: всегда начинайте со скобок; десятичные дроби лучше переводить в обыкновенные, если так действие становится проще; при делении на дробь не забывайте, что нужно умножать на обратную дробь. Частая ошибка — сначала делить числитель и знаменатель отдельно или перепутать порядок действий в скобках. Проверка себя простая: если в скобках получилось число меньше 1, а исходная дробь больше 0, ответ может быть больше исходной дроби — это нормально.

Решим выражение по порядку действий.

Сначала удобно перевести все числа в дроби. Смешанное число \(1\dfrac{1}{2}\) превращаем в неправильную дробь: \(1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\). Десятичную дробь \(0{,}25\) записываем как \(\dfrac{1}{4}\).

Теперь выражение имеет вид:

\(\dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4}\).

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

\(\dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3}\).

Сокращаем \(3\) и \(3\), получаем:

\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}\).

Теперь прибавляем \(\dfrac{1}{4}\):

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{3}{4}\).

Как не потерять балл: в таких заданиях чаще всего ошибаются в двух местах: забывают перевести смешанное число в неправильную дробь или неверно выполняют деление дробей. Полезная проверка: после вычисления результат должен быть дробью в несократимом виде. Если получается десятичная дробь, её нужно перевести в обыкновенную и упростить.

Решим выражение по порядку. В заданиях ЕГЭ База на дроби и десятичные дроби очень важно сначала привести все числа к удобному виду, а уже потом выполнять действия.

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. 1\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}. Это нужно делать обязательно, потому что степень удобнее возводить именно для дроби.

2. Возводим дробь в квадрат. (\tfrac{3}{2})^2 = \tfrac{3^2}{2^2} = \tfrac{9}{4}. Ошибка многих учеников — возводить в степень только целую часть или только числитель. Правило такое: при возведении дроби в степень в эту степень возводятся и числитель, и знаменатель.

3. Переведём десятичную дробь в обыкновенную. 0{,}25 = \tfrac{25}{100} = \tfrac{1}{4}.

4. Выполним вычитание дробей. \tfrac{9}{4} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{8}{4} = 2.

Получили целое число 2. Но по условию ответ нужно записать в виде обыкновенной дроби, значит можно написать \(\tfrac{2}{1}\), однако в заданиях с открытым ответом обычно достаточно записать 2, так как это тоже корректное значение дроби.

Ответ: 2.

Как себя проверить на экзамене: если после преобразований вы получили очень неудобные числа, скорее всего, где-то допущена ошибка в переводе смешанного числа или десятичной дроби. Всегда проверяйте: смешанное число переведено в неправильную дробь, степень применена ко всей дроби, десятичная дробь записана в виде обыкновенной дроби, результат сокращён.

Сначала важно вспомнить правило порядка действий. В выражении сначала выполняется деление, а уже потом сложение. Это одна из самых частых ошибок в заданиях на дроби: многие складывают всё подряд слева направо и получают неверный ответ.

Разберём выражение по шагам:

1) Сначала вычислим деление \(1\dfrac{1}{2} : 0{,}75\).

Смешанное число переводим в неправильную дробь:

\(1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\).

Десятичную дробь переводим в обыкновенную:

\(0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}\).

Теперь деление заменяем умножением на обратную дробь:

\(\dfrac{3}{2} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = 2\).

2) Теперь прибавим оставшуюся дробь:

\(\dfrac{5}{12} + 2 = \dfrac{5}{12} + \dfrac{24}{12} = \dfrac{29}{12}\).

Ответ уже записан в виде обыкновенной дроби и сокращать его не нужно.

Почему остальные варианты могли бы показаться верными?

— Если не учесть порядок действий, можно сначала сложить \(\dfrac{5}{12}\) и \(1\dfrac{1}{2}\), а потом делить — получится неверно.

— Если не перевести \(0{,}75\) в дробь, трудно правильно выполнить деление.

— Если не сократить промежуточные дроби или ошибиться при умножении на обратную дробь, ответ тоже будет другим.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: всегда сначала отмечайте деление, затем переводите все числа в удобный вид: смешанное число — в неправильную дробь, десятичную — в обыкновенную. После этого деление заменяйте умножением на обратную дробь и только потом выполняйте сложение. Такой алгоритм помогает не терять баллы на вычислениях.

Решим выражение по порядку действий. Сначала выполняется деление, а потом сложение. Это очень важное правило: если в выражении есть знак «:», его нельзя игнорировать и нельзя сначала складывать всё подряд.

Дано выражение:

\(\dfrac{5}{12} + 2\dfrac{1}{3} : 0{,}4\)

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

\(2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\)

2. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.

\(0{,}4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)

Теперь выражение стало таким:

\(\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{3} : \dfrac{2}{5}\)

3. Выполним деление дробей. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

\(\dfrac{7}{3} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{35}{6}\)

4. Сложим полученные дроби. Приведём к общему знаменателю:

\(\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{12}, \quad \dfrac{35}{6} = \dfrac{70}{12}\)

\(\dfrac{5}{12} + \dfrac{70}{12} = \dfrac{75}{12}\)

Сократим дробь на 3:

\(\dfrac{75}{12} = \dfrac{25}{4}\)

Ответ: \(\dfrac{25}{4}\).

Как не потерять балл на ЕГЭ База: всегда сначала определяйте порядок действий; смешанное число переводите в неправильную дробь; десятичную дробь — в обыкновенную; после деления дробей не забудьте умножить на обратную дробь; в конце обязательно сокращайте ответ, если это возможно.

Типичные ошибки: посчитать \(\dfrac{5}{12} + 2\dfrac{1}{3}\) раньше деления; оставить 0{,}4\) как десятичную дробь; забыть перевернуть вторую дробь при делении; не сократить результат.

Решим выражение по порядку действий. Сначала нужно правильно обработать смешанное число, затем возвести его в степень, и только потом выполнить вычитание с десятичной дробью.

1) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. \(1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\). Это очень важный шаг: если сразу возводить в квадрат только целую часть 1, получится ошибка. В таких заданиях степень относится ко всему числу в скобках.

2) Возводим дробь в квадрат. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\).

3) Переводим десятичную дробь в обыкновенную. \(0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}\).

4) Выполняем вычитание дробей. Теперь у нас \(\dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{3}{2}\).

Как не потерять балл на ЕГЭ База: всегда сначала приводите смешанное число к неправильной дроби, потом вычисляйте степень, затем переводите десятичную дробь в обычную и только после этого складывайте или вычитайте. Частая ошибка — забыть, что степень относится ко всему выражению в скобках. Ещё одна типичная ошибка — неверно перевести \(0{,}75\) в дробь или не сократить результат.