Показательные уравнения: задания с ответами

Ключевая идея здесь — привести обе части уравнения к одной и той же основе. Тогда можно будет сравнить показатели степеней.

Слева уже стоит степень с основанием 2: 2^3x-1. Справа число 16 тоже можно представить как степень двойки:

16 = 2⁴.

Теперь уравнение принимает вид:

2^3x-1 = 2⁴.

Если основания одинаковые и они положительны, не равны 1, то равны и показатели:

3x - 1 = 4.

Решаем линейное уравнение:

3x = 5,

x = 5/3.

Ответ: 5/3.

Почему этот способ важен на ЕГЭ? Такие задания обычно решаются без логарифмов: достаточно заметить, что правую часть можно переписать как степень той же основы. Это быстрее и надежнее, чем пытаться что-то «извлекать» или делать лишние преобразования.

Типичные ошибки:

• не заметить, что 16 = 2⁴;
• сразу пытаться делить степени или сокращать показатели, что здесь не нужно;
• ошибиться при решении линейного уравнения и написать x = 2/3 или x = 3/5;
• забыть, что при равных основаниях можно приравнивать показатели только потому, что основание больше 0 и не равно 1.

Полезная проверка: подставьте x = 5/3. Тогда 3x - 1 = 5 - 1 = 4, и левая часть равна 2⁴ = 16. Значит, решение верное.

Решим уравнение, приводя обе части к одному основанию. Это самый надежный способ для показательных уравнений базового уровня.

1. Узнаем правую часть как степень числа 2.
Так как 64 = 2⁶, уравнение можно переписать так:

2^x+3 = 2⁶.

2. При одинаковых основаниях приравниваем показатели.
Если основания одинаковые и больше 0, но не равны 1, то равны и показатели степеней:

x + 3 = 6.

3. Решаем линейное уравнение.
Вычтем 3 из обеих частей:

x = 3.

Ответ: 3.

Почему этот способ правильный?
Потому что функция 2^x принимает разные значения при разных показателях, если основание фиксировано и равно 2. Поэтому при одинаковом основании можно сравнивать именно показатели.

Типичные ошибки:

• забывают представить 64 как степень двойки;
• ошибаются со знаком при переносе числа 3;
• пытаются делить или извлекать корень там, где достаточно приравнять показатели.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:
Подставьте найденное значение: 2³⁺³ = 2⁶ = 64. Равенство верно, значит ответ найден правильно.

Решаем такие уравнения по одному и тому же важному правилу: если основания степеней одинаковые, то произведение степеней можно заменить одной степенью с суммой показателей.

В нашем случае:

3^2x-1 · 3^x+4 = 3^(2x-1)+(x+4)

Складываем показатели:

(2x-1)+(x+4)=3x+3

Получаем уравнение:

3^3x+3 = 1

Теперь используем базовое свойство показательных уравнений: если основание a положительное и не равно 1, то a^k = 1 только тогда, когда k = 0. Здесь основание 3, а значит:

3x+3 = 0

Решаем линейное уравнение:

3x = -3

x = -1

Ответ: -1.

Почему это не ошибка? Иногда ученики пытаются приравнять каждый множитель к 1 отдельно, но это неверно: произведение равно 1 не означает, что каждый множитель равен 1. Здесь нужно сначала объединить степени с одинаковым основанием.

Полезная проверка для ЕГЭ База: если получилось a⁰, то действительно значение равно 1. Подставим x=-1: 2x-1=-3, x+4=3, сумма показателей равна 0, значит 3^-3·3³=3⁰=1. Всё верно.

Главный алгоритм для таких задач: 1) объединить степени с одинаковым основанием; 2) приравнять показатель к нулю; 3) решить простое линейное уравнение; 4) быстро проверить ответ подстановкой.

Сначала нужно привести правую часть к тому же основанию, что и левая часть. Это главный прием в показательных уравнениях базового уровня: если основания одинаковые и положительные, то можно приравнять показатели.

Имеем уравнение: 5^x+2 = 125.

Заметим, что 125 = 5³, потому что 5·5·5 = 125.

Тогда уравнение переписывается так:

5^x+2 = 5³.

Так как основания равны и основание 5 положительное, не равно 1, то приравниваем показатели:

x + 2 = 3.

Решаем линейное уравнение:

x = 3 - 2 = 1.

Ответ: 1.

Как себя проверить на ЕГЭ: подставьте найденное значение обратно в уравнение. Если x = 1, то слева получаем 5¹⁺² = 5³ = 125, значит решение верное.

Типичные ошибки: 1) забывают представить 125 как степень числа 5; 2) приравнивают не показатели, а сами числа; 3) ошибаются со знаком при переносе 2 в другую часть. В таких заданиях всегда сначала ищите общее основание, а потом решайте обычное линейное уравнение.

Используем главное свойство степеней с одинаковым основанием: при делении степеней показатели вычитаются.

\(\dfrac{2^{x+5}}{2^{x-1}} = 2^{(x+5)-(x-1)}\)

Аккуратно раскрываем скобки в показателе:

\((x+5)-(x-1)=x+5-x+1=6\)

Значит, левая часть уравнения превращается в:

\(2^6\)

Тогда уравнение имеет вид:

\(2^6 = 2^4\)

Но это неверно, если просто так сравнивать числа. Здесь важно заметить: мы уже получили, что левая часть не зависит от x. Это означает, что исходное уравнение либо верно для любого x, либо неверно для любого x. Проверим вычисление ещё раз:

\((x+5)-(x-1)=x+5-x+1=6\)

Значит, левая часть действительно равна \(2^6\), а правая — \(2^4\). Получается противоречие, поэтому такого x не существует.

Однако в тестах ЕГЭ База обычно проверяют именно умение приводить степени и приравнивать показатели. Здесь важно не ошибиться в знаках при вычитании показателей: часто ученики пишут \((x+5)-(x-1)=5-(-1)=6\) или теряют знак перед единицей. Ещё одна типичная ошибка — пытаться сократить основания и потом приравнять какие-то части без правил степеней.

Проверка себя: если после упрощения показатели не зависят от переменной, нужно внимательно посмотреть, нет ли ошибки в преобразованиях. В этой задаче правильный вывод: решений нет.

Правильный ответ: решений нет.

Решим показательное уравнение по стандартному алгоритму ЕГЭ База: сначала нужно привести правую часть к той же основе, что и слева.

Слева основание степени — число 2. Значит, и число 64 полезно записать как степень числа 2:

64 = 2⁶, потому что 2⁶ = 64.

Теперь уравнение принимает вид:

2^x+3 = 2⁶.

Если основания одинаковые и больше нуля, а также не равны 1, то можно приравнять показатели степеней:

x + 3 = 6.

Решаем обычное линейное уравнение:

x = 6 - 3 = 3.

Ответ: 3.

Почему этот способ правильный? Для показательных уравнений вида a^f(x) = a^g(x) при a > 0 и a ≠ 1 равенство возможно только тогда, когда равны показатели. Это один из самых частых и удобных приёмов в заданиях базового уровня.

Типичные ошибки: 1) пытаться складывать или сравнивать числа 2 и 64 напрямую; 2) забыть представить 64 как степень двойки; 3) ошибиться при переносе числа 3 в уравнении x + 3 = 6. Чтобы себя проверить, подставьте ответ обратно: 2³⁺³ = 2⁶ = 64, значит, решение верное.

Решим показательное уравнение, используя главное свойство степеней с одинаковым основанием:

a^u · a^v = a^u+v.

Здесь основание одно и то же: 3. Значит, можно сложить показатели:

3^x+1 · 3^2x-4 = 3^(x+1)+(2x-4) = 3^3x-3.

Теперь уравнение принимает вид:

3^3x-3 = 1.

Важно помнить правило: если основание степени положительное и не равно 1 (а число 3 именно такое), то равенство a^k = 1 возможно только при k = 0.

Поэтому приравниваем показатель к нулю:

3x - 3 = 0.

Решаем линейное уравнение:

3x = 3,

x = 1.

Ответ: 1.

Как проверять себя на таких заданиях: после объединения степеней всегда смотрите, не получилось ли число вида a⁰. Это самый быстрый способ понять, что ответ должен быть найден из равенства показателя нулю. Частая ошибка — пытаться приравнивать каждый множитель к 1 отдельно. Так делать нельзя: нужно сначала объединить степени с одинаковым основанием.

Решаем показательное уравнение методом приведения к одной и той же основе. Это один из самых надёжных способов в заданиях ЕГЭ База.

1. Приведём правую часть к той же основе, что и слева.
Слева основание — 3. Число 27 тоже можно записать как степень тройки:

27 = 3³.

Тогда уравнение принимает вид:

3^2x-1 = 3³.

2. Используем свойство показательных функций.
Если основания одинаковые и больше 0, а также не равны 1, то равенство степеней выполняется тогда и только тогда, когда равны показатели:

2x - 1 = 3.

3. Решаем линейное уравнение.

2x = 4,

x = 2.

4. Проверка.
Подставим x = 2:

левая часть: 3^2·2-1 = 3³ = 27.

Получили правую часть, значит ответ верный.

Почему этот способ удобен?
Когда обе части можно записать как степени с одинаковым основанием, не нужно вводить логарифмы или применять более сложные методы. Для базового ЕГЭ это самый быстрый и безопасный путь.

Типичная ошибка: пытаться «убрать степень» без приведения к общей основе или забыть, что 27 = 3³. Ещё одна частая ошибка — написать x = 1, если неверно решить уравнение 2x - 1 = 3.

Ответ: x = 2.

Рассмотрим уравнение с дробью из степеней с одинаковым основанием:

\(\dfrac{3^{2x-1}}{3^{x+2}}=1\).

Для таких задач на ЕГЭ База важно помнить основное свойство степеней:

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), если \(a>0\) и \(a\neq 1\).

Здесь основание одно и то же — 3, значит можно вычесть показатели:

\(\dfrac{3^{2x-1}}{3^{x+2}}=3^{(2x-1)-(x+2)}\).

Упростим показатель:

\((2x-1)-(x+2)=2x-1-x-2=x-3\).

Тогда уравнение превращается в:

\(3^{x-3}=1\).

Теперь используем важный факт: если основание степени \(a>0\) и \(a\neq 1\), то \(a^k=1\) только при \(k=0\). Это один из самых частых приёмов в базовых показательных уравнениях.

Значит, нужно приравнять показатель к нулю:

\(x-3=0\).

Отсюда:

\(x=3\).

Ответ: \(3\).

Как проверить себя быстро: если подставить \(x=3\), то в числителе и знаменателе получится одна и та же степень \(3^5\), а их отношение действительно равно 1.

Частые ошибки в таких заданиях:

• прибавляют показатели вместо того, чтобы вычитать при делении;
• забывают, что \(a^0=1\), и пытаются искать другие значения;
• ошибаются со знаком при раскрытии скобок: \((2x-1)-(x+2)=2x-1-x-2\), а не \(2x-1-x+2\).

Если запомнить цепочку «одинаковое основание → вычесть показатели → приравнять показатель к нулю», такие задания решаются очень быстро.

Решаем показательное уравнение, в котором стоит отношение степеней с одинаковым основанием. Это очень типичный формат для ЕГЭ База: сначала нужно применить свойство степеней, а потом решить обычное линейное уравнение.

У нас есть дробь
\(\dfrac{2^{3x-1}}{2^{x+5}}\).
Так как основания одинаковые, можно вычесть показатели степеней:

\[\dfrac{2^{3x-1}}{2^{x+5}}=2^{(3x-1)-(x+5)}.\]

Теперь упростим показатель:

\[(3x-1)-(x+5)=3x-1-x-5=2x-6.\]

Значит, уравнение принимает вид:

\[2^{2x-6}=1.\]

Дальше используется важное правило: если основание степени \(a\) положительно и не равно 1, то \(a^k=1\) только при \(k=0\). Здесь основание \(2\), а \(2\neq 1\), значит нужно приравнять показатель к нулю:

\[2x-6=0.\]

Решаем линейное уравнение:

\[2x=6,\quad x=3.\]

Ответ: \(3\).

Как проверять себя на таких задачах:

• сначала убедитесь, что основания одинаковые;
• не забудьте, что при делении степеней показатели вычитаются;
• после упрощения должно получиться выражение вида \(a^k=1\), где \(a\neq 1\);
• тогда обязательно пишем \(k=0\), а не пытаемся делить или логарифмировать.

Частая ошибка — неверно раскрыть скобки в показателе: например, забыть, что \(-(x+5)=-x-5\). Именно такие мелочи чаще всего и стоят баллов в базовом экзамене.

Это уравнение удобно решать способом приведения обеих частей к одной и той же основе. В таких заданиях важно заметить, что числа можно записать как степени с одинаковым основанием.

Слева уже стоит степень с основанием 2: 2^3x-1. Справа число 16 тоже можно представить как степень двойки:

16 = 2⁴.

Тогда уравнение принимает вид:

2^3x-1 = 2⁴.

Если основания одинаковые и больше 1, то равны должны быть показатели степени:

3x - 1 = 4.

Решаем линейное уравнение:

3x = 5, значит x = 5/3.

Ответ: 5/3.

Как проверять себя на ЕГЭ: если удалось представить обе части как степени с одной и той же основой, дальше почти всегда нужно просто приравнять показатели. Это самый быстрый и надежный способ. Частая ошибка — пытаться сразу делить, извлекать корень или использовать логарифмы там, где они не нужны. Ещё одна типичная ошибка — забыть переписать 16 как 2⁴ и сделать неверный вывод.

Полезная привычка: перед решением всегда спрашивайте себя: «Можно ли представить правую часть как степень того же основания?» Если да, то задача решается в одну-две строки.

Здесь используется главное правило для показательных уравнений с одинаковыми основаниями: если основания равны, при этом они положительные и не равны 1, то можно приравнять показатели степеней.

В уравнении 3^2x-1 = 3^x+5 основания слева и справа одинаковые: это число 3. Оно подходит, потому что 3 > 0 и 3 ≠ 1.

Поэтому приравниваем показатели:

2x - 1 = x + 5.

Теперь решаем обычное линейное уравнение:

2x - x = 5 + 1,

x = 6.

Ответ: 6.

Полезно помнить типичную схему для ЕГЭ База: сначала проверяем основания, затем приравниваем показатели, после этого решаем линейное уравнение. Частая ошибка — пытаться «сокращать» степени или сравнивать только числа перед буквой. Ещё одна ошибка — забыть, что правило работает только при основании, отличном от 1. Здесь таких проблем нет, поэтому решение получается быстро и без лишних преобразований.

Проверка себя: подставьте x = 6. Тогда слева получаем 3¹¹, справа тоже 3¹¹. Значит, корень найден верно.