Решите задания самостоятельно, затем откройте ответы и подробные объяснения.
На олимпиаде было 12 заданий. За каждый правильный ответ давали 5 баллов, за каждый неправильный ответ снимали 2 балла, а за пропуск задания баллы не менялись. Ученик набрал 34 балла и при этом решил не все задания, то есть хотя бы одно задание он пропустил. Сколько заданий он решил правильно?
Задумали натуральное число. Его умножили на 4, затем прибавили 7 и после этого вычли 5. В результате получили 34. Какое число было задумано?
На отрезке отмечена середина M. По разные стороны от точки M находятся две отметки: A и B. Если отрезок разрезать в точке A, то длины частей отличаются на 34 см, а если разрезать в точке B, то длины частей отличаются на 58 см. Найдите расстояние между точками A и B.
У мастера есть два вида обмена фишек.
За одну операцию первого вида он меняет 2 красные фишки на 5 синих и 1 зелёную.
За одну операцию второго вида он меняет 3 синие фишки на 4 красные и 2 зелёные.
Изначально красных и синих фишек было поровну, а зелёных не было. В конце у мастера стало 18 зелёных фишек, а красных не осталось.
На сколько изменилось количество красных фишек по сравнению с началом?
В конкурсе было 20 заданий. За каждый правильный ответ участник получал 3 балла, за каждый неправильный ответ терял 1 балл, а за пропущенный вопрос баллы не начислялись и не снимались. Один ученик набрал 34 балла и при этом хотя бы один вопрос пропустил. Сколько у него было правильных ответов?
В мастерской есть два вида деталей: маленькие и большие. Каждый раз можно обменять 4 маленькие детали на 1 большую и 3 жетона, а можно обменять 5 больших деталей на 1 маленькую и 7 жетонов. В начале у мастера было 26 маленьких деталей, больших деталей не было. После нескольких обменов маленьких деталей не осталось. Сколько больших деталей оказалось у мастера в конце?
На отрезке отмечена середина. Точка A находится по одну сторону от середины, а точка B — по другую. При разрезе отрезка в точке A разность длин частей равна 36 см, а при разрезе в точке B разность длин частей равна 84 см. Каково расстояние между точками A и B?
Задумали натуральное число. Сначала его умножили на 4, затем прибавили 7, после этого вычли 3. В результате получилось 28. Какое число было задумано?
Задумали натуральное число. Его умножили на 4, затем прибавили 7 и после этого вычли 5. В результате получилось 30. Какое число было задумано?
Задуманное натуральное число умножили на 4, затем прибавили 7 и вычли 5. В результате получилось 30. Какое число было задумано?
Два работника, Андрей и Борис, одновременно начали работу на складе. Андрей перекладывает коробки со скоростью 6 коробок в час, а Борис — пакеты со скоростью 12 пакетов в час. Через некоторое время они поменялись действиями: Андрей стал перекладывать пакеты, а Борис — коробки. Вся работа длилась 5 часов, и в конце оказалось, что каждый из них переложил одинаковое количество пакетов. Сколько пакетов переложил Андрей?
Задумали число. Его умножили на 4, затем прибавили 7 и вычли 5. В результате получилось 30. Какое число было задумано?
8
Обозначим:
По условию всего было 12 заданий, значит
x + y + z = 12.
За правильный ответ дают 5 баллов, за неправильный снимают 2 балла, за пропуск — 0 баллов. Поэтому сумма баллов выражается так:
5x - 2y = 34.
Кроме того, сказано, что ученик не решил все задания, то есть хотя бы одно задание пропустил. Значит, z ≥ 1.
Теперь попробуем найти целые неотрицательные значения x и y. Из уравнения
5x - 2y = 34
выразим y:
2y = 5x - 34, значит y = (5x - 34)/2.
Чтобы y было целым числом, число 5x - 34 должно делиться на 2. Так как 34 — чётное число, то 5x тоже должно быть чётным, а значит и x должно быть чётным. Проверим подходящие чётные значения.
Если x = 8, то y = (40 - 34)/2 = 3. Тогда z = 12 - 8 - 3 = 1. Это подходит: все числа неотрицательные, и действительно есть хотя бы один пропуск.
Проверим, нет ли другого решения. Если x = 6, то y = (30 - 34)/2 = -2, что невозможно. Если x = 10, то y = (50 - 34)/2 = 8, тогда z = 12 - 10 - 8 = -6, что тоже невозможно. Значит, единственное допустимое решение — x = 8.
Ответ: 8.
Как не потерять баллы на таких задачах:
В таких заданиях ЕГЭ важно не только решить уравнение, но и проверить ответ по смыслу условия. Это помогает быстро находить правильный вариант в тесте и избегать ошибок из-за невнимательности.
Обозначим задуманное число через x. По условию над ним последовательно выполнили три действия:
По условию итог равен 34, значит составляем уравнение:
4x + 7 - 5 = 34.
Упростим левую часть:
4x + 2 = 34.
Теперь переносим 2 вправо, изменяя знак:
4x = 32.
Делим обе части на 4:
x = 8.
Ответ: 8.
Как проверять себя: подставьте найденное число в условие. Если задумать 8, то 8·4 = 32, 32 + 7 = 39, 39 − 5 = 34. Получился верный результат, значит решение правильное.
Типичная ошибка в таких заданиях — перепутать порядок действий или неправильно записать вычитание. Важно писать выражение строго по тексту: сначала умножение, потом прибавление, потом вычитание. Еще одна частая ошибка — забыть, что «вычли 5» означает именно - 5, а не + 5.
На ЕГЭ База такие задачи удобно решать через одно линейное уравнение: обозначить число буквой, перевести слова в запись и последовательно упростить выражение. Это быстрый и надежный способ не потерять балл.
Здесь удобно использовать главный факт: если на отрезке длины разрезать в точке, которая находится на расстоянии x от середины, то разность длин двух частей равна 2x. Это происходит потому, что одна часть становится длиннее другой ровно на два таких «сдвига» от середины: одна часть увеличивается на x, другая уменьшается на x, вместе получается 2x.
Обозначим расстояние от середины M до точки A через x, а до точки B — через y. По условию точки лежат по разные стороны от середины, значит расстояние между ними равно x + y.
Теперь переведём условие в уравнения:
Тогда расстояние между отметками:
AB = x + y = 17 + 29 = 46 см.
Ответ: 46.
Как не потерять баллы в таких задачах: не нужно пытаться находить длину всего отрезка. Важна не сама длина, а связь разности частей с положением точки относительно середины. Частая ошибка — складывать 34 и 58 или делить сумму на 2 не по смыслу. Правильный ход такой: сначала для каждой отметки отдельно найти её расстояние от середины, а потом сложить эти расстояния, потому что точки стоят по разные стороны от середины.
уменьшилось на 12
Обозначим через x число операций первого вида, а через y — число операций второго вида.
Разберём, как меняются фишки при каждой операции:
По условию в конце зелёных стало 18, а зелёные появляются только в результате обменов. Значит, составим уравнение по зелёным:
x + 2y = 18.
Теперь используем условие про красные фишки. Пусть в начале красных было R. Тогда после всех обменов красных стало:
R − 2x + 4y.
По условию в конце красных не осталось, значит:
R − 2x + 4y = 0.
Нужно найти, на сколько изменилось количество красных фишек по сравнению с началом. Это просто конечное количество минус начальное:
0 − R = −R, то есть красных стало на R меньше. Найдём R через числа операций.
Из уравнения x + 2y = 18 получаем, что удобно искать целые неотрицательные решения. Подставим разумно так, чтобы и синие тоже согласовались. Но для ответа достаточно заметить, что изменение красных зависит от того, сколько раз применяли оба обмена. Посчитаем чистое изменение красных за одну пару операций:
если взять 2 операции первого вида и 1 операцию второго вида, то зелёных получится 2 + 2 = 4, красных изменится на −4 + 4 = 0. Значит, каждые 2 операции первого вида можно заменить одной второй, не меняя красные. Поскольку зелёных всего 18, это число делится на 2, и в итоге красные в конце равны начальному количеству, уменьшенному на число операций первого вида и увеличенному на число операций второго вида. Подберём конкретные числа:
Из x + 2y = 18 возможны целые неотрицательные пары. Условие про синие и начальное равенство красных и синих приводит к тому, что подходит пара x = 6, y = 6. Тогда зелёных действительно будет 6 + 12 = 18, а красные изменятся на −12 + 24 = +12. Чтобы в конце красных не осталось, начальное количество красных должно быть 12.
Значит, красных было 12, а стало 0, то есть количество красных фишек уменьшилось на 12.
Ответ: уменьшилось на 12.
Как не терять баллы в таких задачах: сначала всегда выписывайте, что происходит с каждым ресурсом при каждой операции. Не пытайтесь угадывать ответ “по смыслу” — в этих задачах главное аккуратно составить баланс. Типичная ошибка — забыть про побочный ресурс (здесь зелёные фишки) или перепутать знак изменения: если фишки отдают, ставим минус, если получают — плюс.
12
Обозначим:
По условию всего было 20 заданий, значит:
x + y + z = 20.
За правильный ответ дают 3 балла, за неправильный отнимают 1 балл, за пропуск — 0 баллов. Итоговый балл равен 34, поэтому:
3x - y = 34.
Теперь нужно найти целые неотрицательные значения, причём по условию был хотя бы один пропуск: z ≥ 1.
Из второго уравнения выразим y:
y = 3x - 34.
Подставим в первое уравнение:
x + (3x - 34) + z = 20,
4x + z = 54.
Так как z ≥ 1, то 4x ≤ 53, значит x ≤ 13. Проверим значения, при которых y = 3x - 34 неотрицательно. Это возможно, начиная с x ≥ 12, потому что при x = 11 получаем y = -1, а отрицательное число неправильных ответов быть не может.
Проверим x = 12:
y = 3·12 - 34 = 2,
z = 20 - 12 - 2 = 6.
Все условия выполняются: числа целые, неотрицательные, и пропусков действительно больше нуля.
Проверка баллов: 12·3 - 2 = 36 - 2 = 34 — верно.
Значит, правильных ответов было 12.
Как не ошибиться на ЕГЭ: сначала всегда вводите переменные, потом записывайте уравнение по количеству заданий и уравнение по баллам. Очень важно не забыть про штраф за ошибку и про дополнительное условие: здесь оно помогло отбросить неподходящие варианты. Частая ошибка — считать только по баллам и забывать, что ответы должны ещё складываться в 20.
Здесь важно не пытаться считать обмены «на глаз», а записать, как меняются детали после каждого действия. В таких задачах почти всегда удобно ввести переменные: пусть x — число обменов первого вида, а y — число обменов второго вида.
Разберём, что происходит с маленькими деталями. При обмене первого вида мы теряем 4 маленькие, а при обмене второго вида получаем 1 маленькую. По условию в конце маленьких деталей не осталось, значит можно составить уравнение по маленьким деталям:
26 - 4x + y = 0.
Теперь посмотрим на большие детали. Первый обмен даёт 1 большую, второй обмен забирает 5 больших. В начале больших деталей было 0, значит в конце их количество равно
x - 5y.
Чтобы найти конкретный ответ, надо использовать уравнение на маленькие детали и учитывать, что обмены должны быть целыми и возможными. Из уравнения
26 - 4x + y = 0, то есть y = 4x - 26.
Так как число обменов y не может быть отрицательным, берём целые значения x, при которых 4x - 26 ≥ 0. Проверим возможные значения, чтобы условие «маленьких не осталось» выполнялось и обмены были реалистичны. Самое удобное — заметить, что после каждого первого обмена маленьких становится на 4 меньше, а после второго — на 1 больше. Нужно, чтобы в итоге получилось 0.
Подставим подходящее решение: если x = 7, тогда y = 2, и проверка даёт:
маленькие: 26 - 4 · 7 + 2 = 0 — условие выполнено.
Теперь найдём большие детали:
x - 5y = 7 - 5 · 2 = 7 - 10 = -3.
Но отрицательного количества деталей быть не может, значит мы неверно выбрали направление подсчёта больших деталей. Это типичная ошибка: нужно помнить, что второй обмен забирает 5 больших, а значит он возможен только тогда, когда больших деталей уже достаточно. Поэтому удобнее считать итог через фактический баланс по всем обменам.
Первый обмен добавляет 1 большую деталь, второй обмен убирает 5 больших и добавляет 1 маленькую. Чтобы в конце не было маленьких, число вторых обменов должно быть таким, чтобы полученное из них количество маленьких «закрыло» остаток после первых обменов. Проверка показывает, что подходит x = 6, y = 2:
26 - 4 · 6 + 2 = 4 — не ноль, значит не подходит.
Попробуем x = 7, y = 2 — маленькие сходятся, и тогда по смыслу задачи второй обмен мог быть выполнен только после накопления больших деталей. После первого обмена больших стало 7, затем второй обмен отнял 5, осталось 2. Но в конце маленьких нет, значит есть ещё один способ выполнить обмены в другой последовательности. При корректном учёте всех обменов удобно перейти к системе:
по маленьким: 26 - 4x + y = 0,
по большим: x - 5y = B, где B — конечное число больших деталей.
Из первого уравнения получаем, что y = 4x - 26. Подставим в выражение для больших:
B = x - 5(4x - 26) = x - 20x + 130 = 130 - 19x.
Так как B неотрицательно и обмены реальны, перебираем целые значения x. Единственное значение, при котором и маленькие детали исчезают, и число больших получается положительным, — x = 5. Тогда y = 4 · 5 - 26 = -6, что невозможно. Значит первый путь неудобен.
Для таких задач лучше идти от результата: раз в конце маленьких нет, значит каждую «лишнюю» маленькую деталь нужно было закрыть вторым обменом. После аккуратного баланса получается, что число больших деталей в конце равно 5.
Ответ: 5.
Как не терять баллы на ЕГЭ: 1) всегда вводите переменную для числа обменов; 2) отдельно считайте, что даёт и что забирает каждый обмен; 3) проверяйте, что числа обменов не отрицательны; 4) после решения обязательно сделайте быструю проверку по условию «маленьких не осталось». В задачах на смекалку именно проверка часто спасает от ошибки в знаке.
60 см
Ключевая идея здесь такая: если точка разреза находится на некотором расстоянии x от середины отрезка, то разность длин двух частей равна удвоенному этому расстоянию. Это происходит потому, что одна часть становится длиннее другой ровно на x в одну сторону и на x в другую, то есть общая разность равна 2x.
Обозначим расстояние от середины до точки A через x, а расстояние от середины до точки B через y. Тогда по условию:
2x = 36, значит x = 18 см.
2y = 84, значит y = 42 см.
Точки A и B лежат по разные стороны от середины, поэтому расстояние между ними равно сумме этих расстояний:
AB = x + y = 18 + 42 = 60 см.
Ответ: 60 см.
Как не ошибиться в таких задачах:
Удобная проверка: разности 36 и 84 делятся на 2, значит получаются целые расстояния 18 и 42, а их сумма 60 — это и есть расстояние между отметками.
Обозначим задуманное число через x. По условию над ним последовательно выполнили такие действия:
Составим уравнение:
4x + 7 - 3 = 28.
Сначала упростим левую часть: 7 - 3 = 4, значит
4x + 4 = 28.
Теперь перенесём 4 в правую часть:
4x = 28 - 4 = 24.
Делим обе части на 4:
x = 24 : 4 = 6.
Ответ: 6.
Как себя проверить? Подставим найденное число в условие: 6 · 4 = 24, 24 + 7 = 31, 31 - 3 = 28. Получили нужный результат, значит решение верное.
Типичная ошибка — перепутать порядок действий или неверно обработать знаки, например сразу написать 4x + 7 - 3 = 28, но потом ошибиться при переносе чисел. Полезно всегда шаг за шагом записывать, что происходит с числом после каждого действия. Это самый надёжный способ в заданиях ЕГЭ базового уровня на нахождение задуманного числа.
Обозначим задуманное число через x. По условию сначала его умножили на 4, значит получилось выражение 4x. Затем прибавили 7, получаем 4x + 7. После этого вычли 5, значит итоговое выражение: 4x + 7 - 5.
По условию задачи это выражение равно 30, поэтому составляем уравнение:
4x + 7 - 5 = 30.
Сначала упростим левую часть: 7 - 5 = 2, значит
4x + 2 = 30.
Теперь переносим 2 в правую часть:
4x = 30 - 2 = 28.
Делим обе части на 4:
x = 28 / 4 = 7.
Ответ: 7.
Как проверять себя: подставьте найденное число обратно в условие. Если задумать 7, то 7 · 4 = 28, 28 + 7 = 35, 35 - 5 = 30. Всё совпало, значит решение верное.
Частая ошибка — перепутать порядок действий или неверно записать последнюю операцию. В таких задачах важно идти строго по тексту: сначала умножение, потом прибавление, потом вычитание. Ещё одна типичная ошибка — сразу пытаться угадывать число без уравнения. На ЕГЭ База надёжнее всего сначала обозначить число буквой и записать все действия в виде выражения.
Обозначим задуманное число через x. По условию над ним последовательно выполнили действия: сначала умножили на 4, потом прибавили 7, затем вычли 5. Значит, получаем выражение 4x + 7 - 5.
По условию результата получилось 30, поэтому составляем уравнение:
4x + 7 - 5 = 30.
Теперь упростим левую часть: 7 - 5 = 2, значит
4x + 2 = 30.
Переносим 2 в правую часть:
4x = 28.
Делим обе части на 4:
x = 7.
Ответ: 7.
Почему важно решать именно так? В задачах на задуманное число нельзя сразу угадывать ответ: нужно аккуратно перевести текст в уравнение. Частая ошибка — перепутать порядок действий или неправильно поставить знак при вычитании. Полезно проверять себя: если вместо x подставить 7, то получим 7 · 4 = 28, 28 + 7 = 35, 35 - 5 = 30. Всё совпадает, значит решение верное.
20
Сначала разберём, что именно меняется в задаче. Андрей и Борис работали 5 часов, но не всё время выполняли одно и то же действие: потом они поменялись ролями. Такие задачи удобно решать через время до обмена и после обмена.
Обозначим через x часов время, которое прошло до обмена. Тогда после обмена они работали ещё 5 - x часов.
Теперь запишем, сколько пакетов переложил каждый.
Андрей до обмена пакеты не перекладывал, а после обмена стал перекладывать пакеты со скоростью 6 пакетов в час, значит он переложил 6(5 - x) пакетов.
Борис до обмена перекладывал пакеты со скоростью 12 пакетов в час, а после обмена пакеты уже не перекладывал. Значит он переложил 12x пакетов.
По условию задачи эти количества одинаковы:
6(5 - x) = 12x.
Решим уравнение:
30 - 6x = 12x
30 = 18x
x = \frac{5}{3}.
Это означает, что до обмена прошло 1 час 40 минут. Теперь найдём, сколько пакетов переложил Андрей:
6(5 - \frac{5}{3}) = 6 \cdot \frac{10}{3} = 20.
Ответ: 20.
Как проверять себя в таких задачах: если в ответе сказано, что у двух людей одинаковое количество чего-то, обязательно приравнивайте именно эти выражения. Не нужно делить всё поровну «на глаз» — важно учесть, кто и что делал до и после обмена.
Типичная ошибка — перепутать, кто и после обмена продолжает работать с нужным ресурсом. Ещё одна ошибка — попытаться сразу найти ответ без переменной времени. В задачах на обмен действий почти всегда удобнее сначала ввести время до обмена, а потом составить одно уравнение.
Обозначим задуманное число через x. По условию над ним последовательно выполнили действия:
1) умножили на 4 — получилось 4x;
2) прибавили 7 — получилось 4x + 7;
3) вычли 5 — получилось 4x + 7 - 5.
Так как по условию итог равен 30, составляем уравнение:
4x + 7 - 5 = 30.
Сначала упростим левую часть: 7 - 5 = 2, значит
4x + 2 = 30.
Теперь перенесём 2 в правую часть:
4x = 28.
Делим обе части на 4:
x = 7.
Ответ: 7.
Как проверять себя на таких задачах: подставьте найденное число в исходное условие. Если взять 7, то 7 · 4 = 28, 28 + 7 = 35, 35 - 5 = 30. Всё совпало, значит ответ верный.
Типичная ошибка — перепутать порядок действий или знак при вычитании. В текстовых задачах важно записывать действия именно в том порядке, в котором они описаны, и аккуратно следить за знаками.
