Расстояния, периметры и практические задачи на клетчатой бумаге: задания с ответами

Здесь проверяется типичный навык из темы «клетчатая бумага»: нужно не просто посчитать клетки, а аккуратно оценить площадь фигуры по сетке.

Шаг 1. Считаем целые клетки. По условию область содержит 18 целых клеток. Если площадь одной клетки равна 2 см², то вклад целых клеток равен:

18 · 2 = 36 см².

Шаг 2. Учитываем частично заполненные клетки. Часто в таких задачах удобнее считать не каждую частичную клетку отдельно, а сгруппировать их: две половинки дают одну целую клетку. Здесь сказано, что есть примерно 9 половинок клеток, то есть это 4,5 клетки.

Тогда их площадь:

4,5 · 2 = 9 см².

Шаг 3. Складываем всё вместе.

36 + 9 = 45 см².

Округление до целого числа уже не меняет ответ: он и так целый.

Ответ: 45.

Почему это важно на ЕГЭ База: в задачах на клетчатой бумаге легко потерять балл из-за двух ошибок: либо забыть про частичные клетки, либо неверно учесть площадь одной клетки. Всегда сначала определяйте, сколько клеток посчитано, затем умножайте на площадь одной клетки и только потом округляйте, если это требуется.

Как себя проверить быстро: если площадь одной клетки 2 см², то итоговая площадь должна быть в два раза больше числа «клеток-эквивалентов». Здесь всего 18 + 4,5 = 22,5 клетки, значит площадь около 45 см² — это разумно.

Сначала найдём площади обеих фигур. В таких задачах на клетчатой бумаге важно не пытаться «на глаз» угадывать ответ, а аккуратно выразить площадь через известные элементы: стороны прямоугольника, основание и высоту треугольника, вычитание вырезанной части.

1. Площадь фигуры A. Это прямоугольник 6 × 4 клеток, значит его площадь равна:

6 · 4 = 24 (клетки²).

Из него вырезан прямоугольный уголок 2 × 1 клетка, его площадь:

2 · 1 = 2 (клетки²).

Тогда площадь фигуры A:

24 − 2 = 22 (клетки²).

2. Площадь фигуры B. Это треугольник. Площадь треугольника находится по формуле:

S = 1/2 · основание · высота.

Подставляем данные:

S = 1/2 · 5 · 3 = 7,5 (клетки²).

3. Находим, во сколько раз площадь A больше площади B. Для этого делим большую площадь на меньшую:

22 / 7,5 = 2,933...

Теперь округляем до ближайшего целого. Число 2,933... ближе к 3, чем к 2. Значит, ответ — 3.

Ответ: 3.

Как не потерять баллы в похожих заданиях:

• Сначала точно найдите площадь каждой фигуры, а уже потом сравнивайте их.

• Если фигура составная, не забывайте вычитать вырезанные части.

• Для треугольника используйте формулу 1/2 · основание · высота, а не просто основание · высота.

• Если в условии сказано «округлите до ближайшего целого», не оставляйте дробь в ответе.

• В таких задачах ответ часто получается нецелым до округления, поэтому проверяйте деление внимательно.

Чтобы найти периметр треугольника на клетчатой бумаге, нужно сложить длины всех его сторон. Здесь удобно воспользоваться координатами вершин и теоремой Пифагора для наклонных сторон.

1. Найдём сторону AB. Точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтали, значит это отрезок вдоль клеток. Его длина равна разности абсцисс: 7 - 1 = 6.

2. Найдём стороны AC и BC. Для этого можно рассмотреть прямоугольные треугольники, у которых одна сторона — горизонтальный сдвиг, а другая — вертикальный сдвиг.

Для AC: от A(1;1) до C(4;5) по горизонтали 3 клетки, по вертикали 4 клетки. Значит, AC — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4. По теореме Пифагора:

AC = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Для BC: от B(7;1) до C(4;5) по горизонтали 3 клетки, по вертикали 4 клетки. Получаем такой же прямоугольный треугольник, значит

BC = √(3² + 4²) = 5.

3. Составим периметр.

P = AB + AC + BC = 6 + 5 + 5 = 16.

Ответ: 16.

Как не ошибиться на ЕГЭ: сначала проверьте, не является ли одна из сторон горизонтальной или вертикальной — тогда её длина читается сразу по клеткам. Для наклонной стороны не считайте клетки по диагонали «на глаз» — нужно брать горизонтальный и вертикальный сдвиг и применять теорему Пифагора. Частая ошибка — забыть, что периметр это сумма всех трёх сторон, а не только наклонных.

Разберём задачу по шагам. На клетчатой бумаге очень удобно использовать формулу площади треугольника:

S = 1/2 · a · h,

где a — основание, а h — высота, проведённая к этому основанию.

В нашей задаче основание AB горизонтальное: точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной прямой y = 1. Значит, длина основания равна разности абсцисс:

AB = 7 - 1 = 6.

Теперь найдём площадь треугольника. Удобно заметить, что высота из точки C к стороне AB будет вертикальным отрезком, потому что AB горизонтальна. Расстояние от точки C(4;7) до прямой y = 1 равно:

h = 7 - 1 = 6.

Но в ЕГЭ базового уровня полезно уметь проверять себя через формулу площади. Тогда:

S = 1/2 · 6 · 6 = 18.

И если теперь выразить высоту через площадь, получим:

h = 2S / a = 2 · 18 / 6 = 6.

Ответ: 6.

Почему так легко ошибиться? Частая ошибка — принять за высоту наклонную сторону треугольника или посчитать расстояние не до стороны, а до её конца. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что в формуле площади есть множитель 1/2. Чтобы не потерять баллы, сначала определяйте, к какой стороне проводится высота, потом смотрите, удобно ли основание горизонтально или вертикально. Если да, высота находится просто как разность координат.

Здесь нужно найти отношение площадей: во сколько раз одна фигура больше другой. Такие задания на клетчатой бумаге в ЕГЭ База решаются очень просто, если не перепутать, что делить на что.

1. Что дано?
Площадь фигуры A примерно равна 18 клеткам, а площадь фигуры B — 52 клеткам. Так как площадь одной клетки равна 1, то эти числа уже являются площадями в обычных единицах.

2. Что нужно найти?
Спрашивают: во сколько раз площадь B больше площади A. Значит, нужно найти отношение

S_B / S_A = 52 / 18.

3. Выполним вычисление
52 / 18 ≈ 2,89.

Теперь по условию нужно округлить до целого числа. Число 2,89 округляется до 3.

Ответ: 3.

Как не потерять балл:

• если спрашивают «во сколько раз больше», почти всегда нужно большую площадь разделить на меньшую;
• не забывайте про округление, если оно указано в условии;
• не надо искать разность площадей — это частая ошибка;
• если площади даны приближённо, ответ тоже будет приближённым.

Проверка себя: поскольку 52 заметно больше 18, ответ должен быть больше 1. Получилось около 2,9 — значит, округление до 3 выглядит разумно.

Для таких задач на клетчатой бумаге важно не пытаться сразу «угадывать» ответ, а действовать по понятному алгоритму.

1. Что означает площадь одной клетки?
Если площадь клетки равна 1, то площадь всей фигуры выражается в количестве клеток: целых и частичных. Полные клетки считаем точно, а неполные можно оценивать и объединять.

2. Как удобно считать площадь
У замкнутой области на сетке обычно есть два источника площади:

• целые клетки внутри фигуры;
• части клеток вдоль границы.

Часто две половинки соседних клеток дают примерно одну целую. Это и есть быстрый способ оценки для ЕГЭ База.

3. Применим это к данной фигуре
По описанию область занимает несколько полных клеток в середине и ещё несколько частичных клеток по краю. При аккуратной оценке получается примерно 16 клеток. После округления до целого остаётся 16.

4. Почему не подходят другие ответы

• 14 и 15 — это занижение, обычно получается, если не учесть все частичные клетки вдоль границы.
• 17 — завышение, часто возникает, если часть внешних клеток ошибочно посчитать как целые.

5. Как себя проверять на экзамене
Полезно мысленно разбить фигуру на две группы: «точно целые клетки» и «пары половинок». Если сумма получается около 16, а округление не меняет число, значит ответ найден верно.

Итак, правильный ответ: 16.

Решим задачу по стандартной схеме для ЕГЭ База: сначала найдём основание, потом площадь, затем выразим высоту.

1. Определяем сторону, к которой проведена высота.
Высота проведена из вершины C к стороне AB. Значит, в формуле площади треугольника удобно взять за основание именно отрезок AB.

2. Находим длину основания AB.
Точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтальной прямой, потому что их ординаты равны. Значит, длина отрезка AB равна разности абсцисс:
AB = 7 - 1 = 6.

3. Находим площадь треугольника.
Удобно заметить, что основание AB лежит на прямой y = 1, а вершина C имеет координату y = 5. Тогда высота к основанию AB равна вертикальному расстоянию от точки C до прямой AB:
h = 5 - 1 = 4.

Можно проверить ответ через формулу площади:
S = 1/2 · a · h = 1/2 · 6 · 4 = 12.

4. Почему это работает.
В треугольнике площадь выражается формулой S = 1/2 · a · h, где a — основание, а h — высота к этому основанию. Если основание горизонтальное, то высота — это просто расстояние по вертикали между вершиной и прямой основания. На клетчатой бумаге это особенно удобно: не нужно строить перпендикуляр отдельно, достаточно посмотреть на координаты.

Ответ: 4.

Типичные ошибки:

• путают высоту с боковой стороной треугольника;
• берут расстояние между точками A и C или B и C вместо высоты к AB;
• забывают, что если основание горизонтальное, то высота находится по разности ординат;
• считают клетки неверно, не проверив координаты.

Как быстро проверять себя на экзамене: если сторона лежит горизонтально или вертикально, высота находится очень быстро — как разность координат по другой оси. Это экономит время и снижает риск ошибки.

Расстояние между двумя концентрическими окружностями — это не сумма радиусов и не один из радиусов, а разность радиусов. Почему? Потому что обе окружности имеют один и тот же центр, и чтобы перейти от меньшей окружности к большей, нужно «добавить» к радиусу меньшей окружности ещё некоторый отрезок по тому же направлению.

В задаче дано:

• радиус меньшей окружности: 3 клетки;
• радиус большей окружности: 7 клеток.

Тогда расстояние между окружностями равно:

$7-3=4$

Ответ: 4.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

1. Сначала убедитесь, что окружности с общим центром, то есть они концентрические.
2. Потом найдите радиусы каждой окружности по клеткам.
3. Вычтите меньший радиус из большего: $R-r$.

Частые ошибки:

• складывают радиусы вместо вычитания;
• берут диаметр вместо радиуса;
• путают расстояние между окружностями с длиной окружности.

Полезная проверка: ответ должен быть положительным числом, потому что большая окружность действительно находится дальше от центра, чем меньшая.

Радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. На клетчатой бумаге, если центр отмечен и окружность построена аккуратно, радиус можно определить прямо по клеткам.

В этой задаче достаточно посмотреть, сколько единичных отрезков помещается от центра O до границы окружности по горизонтали, вертикали или по другому удобному направлению. Так как клетка имеет сторону 1, то число клеток и есть длина в единицах.

В нашем случае от центра до окружности получается 6 клеток, значит радиус равен 6.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не путайте радиус и диаметр. Если бы спрашивали диаметр, надо было бы взять удвоенное значение радиуса. Ещё одна частая ошибка — считать клетки не от центра, а от ближайшей линии сетки. Всегда начинайте именно с отмеченного центра.

Идея задачи: радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. На клетчатой бумаге такое расстояние удобно считывать по клеткам, если точка окружности лежит на линии сетки.

На рисунке центр O находится в узле сетки. Если посмотреть от центра до границы окружности по горизонтали (или по вертикали), видно, что от центра до окружности откладывается 5 клеток. Значит, радиус окружности равен 5.

Почему так: все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Поэтому достаточно найти расстояние от O до любой удобной точки окружности. В задачах базового уровня чаще всего окружность нарисована так, что радиус можно прочитать напрямую по клеткам.

Как не ошибиться:

• не путайте радиус и диаметр: диаметр в 2 раза больше радиуса;
• если точка окружности лежит не на той же горизонтали/вертикали, тогда нужно считать расстояние аккуратно, иногда с помощью теоремы Пифагора;
• в этой задаче вычисления не нужны: радиус читается прямо по сетке.

Ответ: 5.

Найдём периметр треугольника, то есть сумму длин всех его сторон: AB, BC и CA.

1. Находим сторону AB. Точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтальной прямой, значит длина отрезка равна разности абсцисс: AB = 7 - 1 = 6.

2. Находим сторону AC. От точки A(1;1) до точки C(4;5) нужно пройти 3 клетки по горизонтали и 4 клетки по вертикали. Тогда по теореме Пифагора:

AC = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

3. Находим сторону BC. От точки B(7;1) до точки C(4;5) снова получаем 3 клетки по горизонтали и 4 клетки по вертикали, значит:

BC = √(3² + 4²) = 5.

4. Складываем длины сторон.

P = AB + BC + CA = 6 + 5 + 5 = 16.

Ответ: 16.

Полезный совет для ЕГЭ База: если сторона треугольника идёт по горизонтали или вертикали, её длину удобно находить сразу по клеткам. Если сторона наклонная, считайте, сколько клеток нужно пройти по двум направлениям, и используйте прямоугольный треугольник. Частая ошибка — просто считать клетки по диагонали «на глаз»; так легко ошибиться. Лучше всегда проверять через разности координат или по теореме Пифагора.

Для таких задач на клетчатой бумаге в ЕГЭ База важно помнить главное правило: площадь замкнутой области оценивают как сумму площадей целых клеток и частей клеток, а затем округляют по условию.

Здесь сказано, что внутри области находится 17 целых клеток, а ещё примерно 7 частично заполненных клеток. Если оценивать по смыслу задачи, то эти частичные клетки в сумме дают примерно ещё 7 единиц площади. Значит, приближённая площадь равна:

17 + 7 = 24.

Так как требуется округлить до целого, ответ остаётся 24.

Почему нельзя выбрать 17? Потому что тогда мы бы учитывали только целые клетки и полностью игнорировали частично занятые участки. В задачах этого типа это типичная ошибка: именно частичные клетки и дают заметную добавку к площади.

Почему не 23 или 25? Это были бы ответы с ошибкой в одну клетку. В базовых заданиях такая ошибка часто возникает, если ученик недооценил или переоценил суммарный вклад частичных клеток. Но здесь по условию их примерно семь, поэтому наиболее разумная оценка — 24.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• сначала посчитайте все целые клетки внутри фигуры;
• затем оцените, сколько примерно дают частичные клетки: половинки можно складывать попарно, две половинки дают примерно одну целую;
• после этого сложите оценки и только потом округляйте, если это требуется;
• не пытайтесь искать точную площадь, если фигура не совпадает с клетками: в таких заданиях нужна именно приближённая оценка.

Итак, правильный ответ: 24.