Измерение расстояний и углов: задания с ответами

В задачах на масштаб главное — правильно понять, что означает запись масштаба. Если написано 1 см : 4 км, это значит, что одному сантиметру на карте соответствует 4 километра на местности.

Дальше нужно найти реальное расстояние по формуле:

реальное расстояние = расстояние на карте × масштаб.

Подставляем данные: 3,5 × 4 = 14.

Значит, реальное расстояние между посёлками равно 14 км.

Ответ: 14 км.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• Не путайте действие: при нахождении реального расстояния обычно умножают, а не делят.
• Сначала внимательно прочитайте, что дано в масштабе: 1 см на карте или другое число.
• Следите за единицами измерения. Если в масштабе километры, то и ответ должен быть в километрах.

Типичная ошибка — разделить 3,5 на 4 и получить 0,875. Это неверно, потому что 3,5 см на карте должны соответствовать большему расстоянию на местности, а значит нужно именно умножение.

Полезная проверка: если на карте отрезок больше 1 см, то и реальное расстояние должно быть больше 4 км. У нас 3,5 см, значит ответ должен быть больше 4 км и вполне может быть 14 км — это согласуется со смыслом задачи.

Здесь нужно увидеть знакомую геометрическую ситуацию: вертикальный столб, земля и верёвка образуют прямоугольный треугольник. Почему прямоугольный? Потому что столб стоит вертикально, а земля горизонтальна, значит угол между ними прямой.

В такой задаче:

• высота столба — это один катет, он равен 6 м;
• расстояние по земле до основания столба — второй катет, он равен 8 м;
• верёвка — это гипотенуза, то есть сторона напротив прямого угла.

Чтобы найти гипотенузу, используем теорему Пифагора:

c² = a² + b²,

где c — гипотенуза, а a и b — катеты.

Подставим числа:

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Тогда

c = √100 = 10.

Ответ: 10 м.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: если в задаче даны два взаимно перпендикулярных расстояния, почти всегда нужно сразу искать третий отрезок по теореме Пифагора. Частая ошибка — просто сложить 6 и 8 и получить 14. Так делать нельзя: в прямоугольном треугольнике складываются не сами стороны, а их квадраты.

Ещё одна полезная проверка: если катеты 6 и 8, то это классическая тройка 6–8–10. Такие числа часто дают удобный ответ без дробей и лишних вычислений.

Рассмотрим задачу как геометрическую. Поскольку опоры стоят вертикально, а площадка является горизонтальной, отрезок между верхними точками вместе с высотами опор образует прямоугольный треугольник.

У этого треугольника один катет — расстояние между основаниями опор: 8 м. Второй катет — разность высот опор, а не их сумма. Это очень важный момент: если верхние точки находятся на разных высотах, нужно брать именно вертикальную разность:

6 - 2 = 4 (м).

Теперь применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику:

d² = 8² + 4².

Считаем:

d² = 64 + 16 = 80,

значит

d = √80 = 4√5 м.

Итак, длина искомого отрезка равна 4√5 м.

Почему часто ошибаются?

• Берут сумму высот 6 и 2, хотя нужна именно разность.
• Забывают, что получившаяся фигура — прямоугольный треугольник, и не применяют теорему Пифагора.
• Оставляют ответ в виде √80 и не упрощают его.

Как быстро проверять себя на экзамене: если точки находятся на разных высотах, сначала найдите вертикальный «перепад», затем подумайте о прямоугольном треугольнике и только после этого применяйте формулу Пифагора.

В этой задаче нужно использовать то, что два столба стоят вертикально, а поверхность между ними горизонтальна. Значит, если соединить верхние точки столбов тросом, а между основаниями взять расстояние по земле, то получится прямоугольный треугольник.

Разберём, какие стороны этого треугольника известны:

• горизонтальное расстояние между столбами — это один катет, он равен 12 м;
• трос длиной 13 м — это гипотенуза;
• второй катет — это разность высот столбов.

Пусть высота второго столба равна x м. Тогда разность высот равна x - 5 м, потому что первый столб выше земли на 5 м.

По теореме Пифагора получаем:

12² + (x - 5)² = 13².

Вычислим:

144 + (x - 5)² = 169

(x - 5)² = 25

x - 5 = 5

x = 10

Отрицательное значение x - 5 = -5 здесь не подходит, потому что тогда второй столб был бы ниже первого на 5 м, а по условию мы ищем высоту второго столба и она должна быть больше 5 м в этой модели задачи.

Итак, высота второго столба равна 10 м.

Как не ошибиться на ЕГЭ: сначала обязательно определяйте, что является гипотенузой. В таких задачах гипотенуза — это наклонный отрезок, то есть трос, а не расстояние по земле. Затем записывайте не полную высоту, а именно разность высот двух объектов. Это самая частая ошибка в заданиях на измерение расстояний и углов.

Решая такие задачи, важно помнить две вещи: минутная стрелка движется быстрее, а часовая стрелка тоже смещается в течение часа, поэтому нельзя считать, что она стоит ровно на цифре часа.

Разберём время 7:20 по шагам.

1. Найдём положение минутной стрелки.
За 1 минуту минутная стрелка проходит 6° (потому что полный круг 360° она делает за 60 минут). Значит, за 20 минут она пройдет:

20 × 6° = 120°.

То есть минутная стрелка находится на отметке, соответствующей 120° от цифры 12.

2. Найдём положение часовой стрелки.
Часовая стрелка за 1 час проходит 30° (360° : 12 = 30°). Но она движется и в течение минут. За 20 минут она проходит ещё часть часового деления:

30° × 20/60 = 10°.

К 7 часам часовая стрелка стоит на 7 × 30° = 210° от 12, а к 7:20 она будет на:

210° + 10° = 220°.

3. Найдём угол между стрелками.
Разность их положений:

|220° − 120°| = 100°.

Это уже меньший угол, потому что он не больше 180°.

Ответ: 100°.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не забывайте, что часовая стрелка не стоит на месте между часами;
• сначала находите положение каждой стрелки относительно цифры 12;
• после разности обязательно проверяйте, что нужен именно наименьший угол, то есть не больше 180°;
• если разность получилась больше 180°, надо взять 360° − полученный угол.

В этой задаче разность оказалась 100°, значит дополнительный угол 260° не нужен, потому что спрашивают именно наименьший угол.

Решая такие задачи, нужно помнить, что стрелки часов движутся непрерывно, а не только в момент смены цифры. Поэтому часовая стрелка тоже смещается вместе с минутами.

1. Найдём положение минутной стрелки.
Минутная стрелка за 1 минуту проходит 6° (потому что полный круг 360° она делает за 60 минут: 360° / 60 = 6°).
В 20 минут она повернётся на:

20 · 6° = 120°.

2. Найдём положение часовой стрелки.
Часовая стрелка за 1 час проходит 30° (360° / 12 = 30°).
Но за 20 минут она тоже успевает пройти часть пути: за 60 минут — 30°, значит за 1 минуту — 0,5°.
Тогда за 20 минут она сместится на:

20 · 0,5° = 10°.

В 4:00 часовая стрелка стоит на отметке 4, то есть на угле:

4 · 30° = 120°.

Значит, в 4:20 часовая стрелка будет на угле:

120° + 10° = 130°.

3. Найдём угол между стрелками.
Разность углов:

|130° - 120°| = 10°.

Это и есть наименьший угол, потому что он меньше 180°. Если бы получилась разность больше 180°, тогда нужно было бы взять дополнительный угол до 360°.

Ответ: 10°.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не забывайте, что часовая стрелка тоже двигается;
• сначала переводите время в углы обеих стрелок;
• после нахождения разности проверяйте, какой угол меньше: сам угол или 360° − угол;
• если угол получился маленьким, как здесь, значит он и есть наименьший.

Здесь используется очень важное правило: полный угол вокруг точки равен 360°. Если лучи расположены равномерно, значит, они делят полный угол на одинаковые части.

В задаче сказано, что лучей 12. Это значит, что весь круг разбит на 12 равных углов. Чтобы найти один такой угол, нужно разделить 360° на 12:

360° : 12 = 30°.

Ответ: 30.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

• сразу вспоминайте, что вокруг точки — 360°;
• считайте, сколько равных частей получилось;
• делите 360 на это число.

Частые ошибки:

• путают полный угол 360° с развернутым углом 180°;
• делят не на число лучей, а на другое число;
• забывают, что речь идет именно о соседних лучах, то есть об одном из равных углов.

Если в задаче говорится о равномерно расположенных лучах, окружности, спицах, секторах или подобных элементах вокруг центра, почти всегда нужно применять одно и то же правило: 360° / количество частей.

Это задача на равномерное деление полного угла. Вспомним главное правило: полный круг вокруг точки содержит 360°. Если лучи расположены равномерно, то они делят этот полный угол на одинаковые части.

В условии сказано, что лучей 12, значит, полный угол разделён на 12 равных углов. Чтобы найти один такой угол, нужно 360° разделить на 12:

360° : 12 = 30°.

Следовательно, угол между соседними лучами равен 30°.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте полный угол 360° с развернутым углом 180°;
• делить нужно именно на число лучей (или равных частей), которое указано в задаче;
• если лучи равномерно расположены, соседние углы всегда одинаковые.

Быстрая проверка: если угол 30°, то 12 таких углов составят 12 × 30° = 360°, значит, ответ найден верно.

Решая такие задачи, нужно помнить две вещи: минутная стрелка движется быстрее, а часовая не стоит на месте даже внутри одного часа. Именно из-за этого нельзя просто смотреть на положение стрелок «по часам» без учёта минут.

1. Найдём положение минутной стрелки.
Минутная стрелка проходит 6° за 1 минуту, потому что полный круг — 360°, а минут в часе 60, значит 360° : 60 = 6°.
Время 3:20 означает, что минутная стрелка от 12 часов прошла 20 · 6° = 120°.

2. Найдём положение часовой стрелки.
Часовая стрелка проходит 30° за 1 час, так как 360° : 12 = 30°.
За 3 часа она окажется на 3 · 30° = 90° от отметки 12.
Но за 20 минут она ещё немного сдвинется: за 60 минут часовая стрелка проходит 30°, значит за 1 минуту — 0,5°. Тогда за 20 минут она пройдёт ещё 20 · 0,5° = 10°.
Итак, положение часовой стрелки: 90° + 10° = 100°.

3. Найдём угол между стрелками.
Разность их положений: |120° − 100°| = 20°.

4. Почему это именно наименьший угол?
Между двумя стрелками всегда есть два угла: один меньше, другой больше, и их сумма равна 360°. Здесь разность уже равна 20°, а дополнительный угол был бы 360° − 20° = 340°. Наименьший угол — это меньший из них, то есть 20°.

Ответ: 20.

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• не забывайте учитывать движение часовой стрелки по минутам;
• всегда переводите время в углы через 6° для минутной стрелки и 30° для часовой за час;
• после нахождения разности сравните её с 360° − разность, если в задаче просят именно наименьший угол.

Нужно найти, сколько километров приходится на 1 см карты. Это задача на масштаб в самом простом виде: сначала сравнивают расстояние в реальности и на карте, а потом делят реальное расстояние на расстояние на карте.

По условию:

• на местности — 36 км,
• на карте — 3 см.

Чтобы узнать, чему равен 1 см, делим 36 на 3:

36 : 3 = 12.

Значит, 1 см на карте соответствует 12 км на местности.

Правильный ответ: 12 км.

Почему так делаем? Потому что в задачах на масштаб нужно найти отношение реального расстояния к картографическому. Ошибка, которую часто допускают ученики, — делят наоборот: 3 на 36. Но тогда получится число меньше 1, и оно не будет означать километры в одном сантиметре. Ещё одна частая ошибка — забыть про единицы измерения и написать просто число без «км».

Полезная проверка для ЕГЭ: если на карте маленькое расстояние, а в реальности большое, то в одном сантиметре должно получиться число больше 1. Здесь действительно выходит 12, что выглядит разумно.

Рассмотрим, какая фигура получается в задаче. Основания мачт находятся на горизонтальной поверхности, а сами мачты вертикальны. Значит, одна точка находится на высоте 5 м, другая — на высоте 12 м. Чтобы найти отрезок между их верхними точками, удобно мысленно построить прямоугольный треугольник.

Сначала находим разность высот, а не сумму: верхние точки находятся не одна над другой, а на разных уровнях. Вертикальный катет равен |12 − 5| = 7 м. Горизонтальный катет — это расстояние между основаниями, то есть 9 м.

Теперь применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику:

длина отрезка² = 9² + 7² = 81 + 49 = 130.

Тогда длина отрезка равна √130 м.

Ответ: √130.

Полезно помнить типичный алгоритм для таких задач на ЕГЭ База:

1. выписать горизонтальное расстояние между основаниями;
2. найти разность высот;
3. понять, что получается прямоугольный треугольник;
4. применить теорему Пифагора.

Частая ошибка — складывать высоты: 5 + 12 = 17. Это неверно, потому что в формуле нужен именно вертикальный промежуток между точками, а не сумма высот. Ещё одна ошибка — забыть возвести катеты в квадрат или неправильно извлечь корень. Если в ответе получается число без корня, проверьте: квадратный корень здесь не сокращается, потому что 130 не является полным квадратом.

Здесь нужно заметить, что высота столба и расстояние по земле образуют прямоугольный треугольник.

Почему именно прямоугольный? Потому что столб стоит вертикально, а земля — горизонтальна, значит угол между этими направлениями прямой. В такой ситуации:

• высота столба — это один катет,
• расстояние по земле — второй катет,
• трос — гипотенуза.

Для прямоугольного треугольника используем теорему Пифагора:

c² = a² + b²,

где c — гипотенуза, а a и b — катеты.

Подставим данные задачи:

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Тогда

c = √100 = 10.

Ответ: 10 м.

Как проверить себя: в задачах такого типа гипотенуза всегда больше каждого катета, а число 10 действительно больше 6 и 8. Частая ошибка — сложить 6 и 8 и получить 14. Так делать нельзя: в прямоугольном треугольнике складывают именно квадраты катетов, а потом извлекают корень.

Полезный способ для ЕГЭ База: сначала мысленно определите, где прямой угол, затем найдите два катета и только после этого применяйте теорему Пифагора. Если числа «красивые», ответ часто получается целым, как в этой задаче.