Цилиндры: задания с ответами

Здесь используется основная идея метода вытеснения жидкости: объём полностью погружённого тела равен объёму вытесненной жидкости. А объём вытесненной жидкости в цилиндрическом сосуде удобно находить по формуле

V = S · Δh,

где S — площадь основания сосуда, а Δh — на сколько поднялся уровень жидкости.

Сначала найдём площадь основания сосуда по исходным данным. Известно, что объём жидкости был 48 л, а высота столба жидкости — 12 см. Чтобы не путаться, приведём единицы к одному виду: 48 л = 48000 см³, потому что 1 л = 1000 см³.

Теперь вычисляем площадь основания:

S = V / h = 48000 / 12 = 4000 см².

После погружения тела уровень поднялся на 3 см. Значит, объём вытесненной жидкости равен

Vтела = S · Δh = 4000 · 3 = 12000 см³.

Переведём ответ в литры, если это нужно: 12000 см³ = 12 л. Но в таких задачах обычно отвечают в тех единицах, которые удобны по условию или в кубических сантиметрах. Здесь правильный ответ — 12000 см³.

Почему это важно для ЕГЭ: многие ученики ошибаются и умножают не на прирост высоты, а на всю исходную высоту. Это неправильно: тело вытесняет жидкость только на ту часть объёма, которая соответствует изменению уровня. Ещё одна частая ошибка — забыть перевести литры в кубические сантиметры. Если этого не сделать, можно получить неверный численный ответ.

Как быстро проверять себя: если сосуд цилиндрический и площадь основания постоянна, то любое изменение уровня жидкости соответствует объёму S · Δh. Если уровень поднялся на 3 см, то объём тела должен быть втрое больше объёма жидкости в слое высотой 1 см. Здесь всё согласуется: 4000 см³ на 1 см и 12000 см³ на 3 см.

В таких задачах главное помнить две идеи.

1. В цилиндрическом сосуде объём жидкости пропорционален высоте её уровня. Это значит: если уровень поднялся в 1,25 раза, то и объём, который занимает вода вместе с погружённым телом, стал в 1,25 раза больше исходного объёма воды.

2. Объём погружённого тела равен разности между новым объёмом, который занимает вода с телом, и исходным объёмом воды.

Решим по шагам.

Исходный объём воды: 2,4 л.

После погружения тело вытеснило воду, и общий объём стал:

2,4 · 1,25 = 3,0 л.

Значит, объём тела равен разности:

3,0 - 2,4 = 0,6 л.

Теперь переведём литры в кубические сантиметры. Напомним: 1 л = 1000 см³.

0,6 л = 600 см³.

Ответ: 600.

Как не потерять баллы в подобных заданиях:

• не путайте коэффициент увеличения уровня с самим объёмом тела;
• сначала находите новый общий объём, а уже потом вычитаете исходный;
• обязательно проверяйте единицы измерения: если ответ нужен в см³, литры нужно перевести.

Быстрая проверка: тело не может иметь объём больше, чем общий прирост объёма жидкости. Здесь прирост равен 0,6 л, значит 600 см³ — разумный ответ.

В цилиндрическом сосуде площадь основания постоянна, поэтому объём жидкости прямо пропорционален высоте уровня. Это ключевая идея таких задач: если уровень вырос в 1,2 раза, то и объём жидкости в сосуде стал в 1,2 раза больше.

Сначала найдём, каким стал общий объём жидкости после погружения тела:

1,5 л · 1,2 = 1,8 л.

Теперь сравним новый объём с исходным. Разница и есть объём тела, потому что при полном погружении тело вытесняет ровно такой же объём жидкости:

1,8 л − 1,5 л = 0,3 л.

Переведём литры в кубические сантиметры: 1 л = 1000 см³, значит

0,3 л = 300 см³.

Ответ: 300 см³.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не путайте коэффициент увеличения уровня с самим объёмом тела. Сначала находят новый объём жидкости, потом разность, и только потом при необходимости переводят единицы. Частая ошибка — сразу умножить 1,5 л на 0,2; это неверно, потому что 0,2 — это не коэффициент прироста, а доля увеличения относительно исходного объёма.

В таких задачах важно помнить главное свойство цилиндрического сосуда: если площадь поперечного сечения постоянна, то объём жидкости пропорционален её высоте. Значит, если уровень поднялся в 1,25 раза, то и объём «занятого пространства» внутри цилиндра тоже стал в 1,25 раза больше.

Обозначим начальный объём жидкости за 2,4 л. После погружения тела новый объём, который занимает жидкость вместе с телом, равен:

2,4 × 1,25 = 3,0 л.

Теперь найдём объём самого тела. Оно вытеснило столько жидкости, сколько добавилось к объёму внутри сосуда:

3,0 − 2,4 = 0,6 л.

Осталось перевести литры в кубические сантиметры. Нужно помнить: 1 л = 1000 см³. Тогда

0,6 л = 600 см³.

Ответ: 600 см³.

Как не потерять баллы на ЕГЭ:

• не путайте новый объём жидкости и объём тела;
• сначала найдите, во сколько раз стал больше объём в цилиндре, а потом вычтите исходный объём;
• не забудьте про перевод единиц: если ответ нужен в см³, а дан в литрах, обязательно умножьте на 1000.

Быстрая проверка: тело не может иметь отрицательный или нулевой объём, а ответ в кубических сантиметрах должен быть заметно больше, чем в литрах. Если это так — решение, скорее всего, верное.

Решаем задачу по главной формуле для таких ситуаций: прирост уровня жидкости равен объёму погружённого тела, делённому на площадь основания сосуда.

Сначала найдём площадь основания цилиндра. Для этого используем формулу объёма цилиндра:

V = S · h,

где V — объём жидкости, S — площадь основания, h — высота уровня жидкости.

По условию: объём воды 18 л, высота 30 см. Переводить литры в кубические сантиметры не обязательно, если мы работаем в одинаковых единицах объёма. Удобно помнить, что 1 л = 1000 см³, но в таких задачах часто можно рассуждать проще: если объём жидкости и объём тела заданы в литрах, то при вычислении подъёма уровня важна только пропорция.

Найдём площадь основания:

S = V / h = 18 / 30 = 0,6 л/см.

Теперь тело объёмом 3 л полностью погрузили в воду. Значит, оно вытеснило именно 3 л жидкости. Тогда прирост высоты:

Δh = V тела / S = 3 / 0,6 = 5 см.

Значит, уровень воды поднимется на 5 см.

Правильный ответ: 5 см.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не путайте подъём уровня с новой высотой воды. Если спрашивают «на сколько поднимется», нужен именно прирост, а не итоговая высота. Ещё одна частая ошибка — пытаться сразу делить объём тела на объём воды: это неверно, потому что объём связан с высотой через площадь основания, а не сам по себе.

Проверка себя: если тело погрузили в сосуд с постоянным сечением, уровень должен подняться тем сильнее, чем больше объём тела. Здесь 3 л — это в 6 раз меньше, чем 18 л, значит подъём на 5 см выглядит разумно, ведь исходная высота 30 см.

В таких задачах ключевая идея одна: в цилиндрическом сосуде площадь основания постоянна. Значит, объём жидкости прямо пропорционален высоте её уровня. Если уровень поднялся в 1,2 раза, то и объём содержимого сосуда после погружения тела тоже стал в 1,2 раза больше.

Обозначим начальный объём воды через V. Тогда после погружения тела общий объём жидкости, который теперь занимает вода вместе с вытесненным телом, равен 1,2V.

Найдём этот объём:

2,5 · 1,2 = 3,0 л.

Это объём, который стал занимать уровень в цилиндре после погружения тела. Но нас спрашивают объём самого тела. Он равен разности между новым и старым объёмом:

3,0 - 2,5 = 0,5 л.

Теперь переведём литры в кубические сантиметры. Напомним: 1 л = 1000 см³.

0,5 л = 500 см³.

Ответ: 500.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте коэффициент увеличения уровня с самим объёмом тела;
• сначала находите новый общий объём, а потом вычитаете начальный;
• обязательно проверяйте единицы измерения: если ответ нужен в см³, а дано в литрах, нужен перевод;
• в цилиндре можно использовать пропорцию между уровнем и объёмом, потому что основание не меняется.

Полезная проверка: если уровень вырос на 20%, то и добавившийся объём должен составить 20% от исходного объёма воды. Здесь 20% от 2,5 л — это 0,5 л, что совпадает с найденным результатом.

Здесь используется очень важная идея из стереометрии: при полном погружении тела объём вытесненной жидкости равен объёму самого тела. Поэтому, если в цилиндрический сосуд опустили предмет до полного погружения и уровень жидкости поднялся, то объём погружённого тела можно найти по формуле

V = S · h,

где S — площадь основания сосуда, а h — на сколько поднялся уровень жидкости.

В задаче дано:

• S = 18 см²;
• h = 4 см.

Подставляем в формулу:

V = 18 · 4 = 72.

Значит, объём шара равен 72 см³.

Ответ: 72.

Как не потерять баллы на ЕГЭ База:

1. Не путайте площадь основания с радиусом или диаметром. В таких задачах радиус обычно вообще не нужен.
2. Не ищите объём всего сосуда — нужен только объём вытесненной жидкости.
3. Если тело полностью погружено, то подъём уровня жидкости и есть ключ к решению: надо умножить площадь основания на изменение высоты уровня.

Если ответ получается целым числом, это хороший знак: в заданиях базового уровня обычно специально подбирают данные так, чтобы вычисление было простым и однозначным.

В таких задачах нужно помнить главный факт: объём вытесненной жидкости равен объёму полностью погружённого тела. Когда тело опускают в цилиндрический сосуд, жидкость поднимается, и дополнительный объём жидкости можно найти как объём «слоя» с площадью основания сосуда и высотой подъёма уровня.

Если площадь основания сосуда равна S, а уровень жидкости поднялся на h, то объём вытесненной жидкости равен

V = S · h.

Подставим данные из задачи:

V = 18 · 4 = 72 (см³).

Значит, объём тела равен 72 см³.

Почему это работает? У цилиндрического сосуда площадь сечения постоянна, поэтому при подъёме уровня на одинаковую высоту добавляется один и тот же объём: площадь основания умножаем на высоту подъёма. Это один из самых типичных приёмов в заданиях ЕГЭ База по стереометрии.

Частые ошибки:

• путают площадь основания с радиусом или диаметром;
• пытаются применить формулу объёма цилиндра πr²h, хотя здесь нужен не объём всего сосуда, а приращение объёма;
• забывают, что тело полностью погружено, а значит объём тела равен объёму вытесненной жидкости.

Как быстро проверять себя на экзамене: если дано «площадь основания» и «подъём уровня», сразу ищите произведение S · h. Если получается целое число, обычно это и есть ответ в кубических сантиметрах.

Когда в сосуд полностью погружают тело, оно вытесняет объём жидкости, равный своему объёму. Это ключевая идея таких задач: нужно не искать объём всего сосуда, а понять, на какую высоту поднимется уровень жидкости из-за вытеснения.

Для цилиндрического сосуда связь между вытесненным объёмом V, площадью основания S и изменением высоты уровня жидкости h такая:

V = S · h

Отсюда находим:

h = V / S

Подставим данные задачи:

h = 72 / 24 = 3

Значит, уровень жидкости повысится на 3 см.

Правильный ответ: 3 см.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте объём тела и объём сосуда;
• если тело полностью погружено, то вытесненный объём равен объёму тела;
• в цилиндре высота подъёма находится по формуле h = V / S;
• следите за единицами: если объём в см³, а площадь в см², то высота получится в см.

В подобных заданиях удобно сначала записать формулу, а потом сразу подставить числа. Если число объёма кратно площади основания, ответ обычно получается целым, что помогает быстро проверить себя.

Когда тело полностью погружают в жидкость, оно вытесняет такой объём жидкости, который равен объёму самого тела. Поэтому в подобных задачах нужно найти не объём цилиндра целиком, а именно приращение объёма жидкости в сосуде.

У цилиндрического сосуда площадь поперечного сечения постоянна и равна площади основания. Значит, если уровень жидкости поднялся на h, то дополнительный объём равен

V = S · h,

где S — площадь основания сосуда, а h — подъём уровня жидкости.

Подставим данные из условия:

V = 12 · 5 = 60 (см³).

Итак, объём детали равен 60 см³.

Как не ошибиться на экзамене: часто путают эту задачу с формулой объёма цилиндра πr²h. Но здесь цилиндр — это сосуд, а искать нужно объём вытесненной жидкости, то есть просто произведение площади основания сосуда на подъём уровня. Если в условии дана площадь основания, сразу используйте формулу V = S · h.

Проверка себя: если площадь основания измеряется в см², а подъём уровня — в см, то произведение действительно даст см³, то есть единицы объёма. Это хороший способ убедиться, что решение оформлено верно.

При полном погружении твёрдого тела в жидкость объём содержимого сосуда увеличивается ровно на объём этого тела. Это и есть основной принцип задач на вытеснение жидкости: тело занимает место в сосуде, и разница между объёмом до и после погружения показывает, сколько объёма добавилось.

В задаче было 24 л жидкости, а после погружения стало 31 л. Значит, объём тела равен разности:

31 − 24 = 7 (л).

Ответ: 7 л.

Почему именно так? Потому что тело полностью оказалось в жидкости, а жидкость не пролилась. Следовательно, новый объём сосуда больше начального на величину объёма тела. Если бы тело было погружено лишь частично, или если бы жидкость пролилась, такая простая разность могла бы не работать. Поэтому в ЕГЭ База всегда внимательно читайте условие: ключевые слова здесь — «полностью погрузили» и «объём содержимого стал равен…».

Как быстро проверять себя на экзамене:

• сначала найдите увеличение объёма;
• не подставляйте начальный или конечный объём вместо ответа;
• если после погружения объём больше, то ответ — это именно разность, а не само число 24 или 31.

Типичная ошибка — перепутать, что нужно искать: не объём жидкости, а объём тела. Для таких задач всегда работает правило: объём тела = конечный объём − начальный объём.

Ключевая идея здесь очень простая: при полном погружении твёрдого тела в жидкость оно вытесняет объём жидкости, равный своему собственному объёму. Поэтому объём тела можно найти по тому, на сколько увеличился объём содержимого сосуда.

Сначала в сосуде было 48 л жидкости. После полного погружения тела объём содержимого стал 63 л. Значит, тело заняло дополнительно:

63 − 48 = 15 (л).

Это и есть объём тела, потому что жидкость не проливалась и не сжималась, а тело было погружено полностью. Следовательно, оно вытеснило 15 л жидкости.

Ответ: 15.

Как не потерять баллы в таких заданиях:

• не складывайте объёмы — нужно именно вычитать;
• всегда ищите разность между конечным и начальным объёмом;
• если конечный объём меньше начального, значит условие составлено неверно, а в правильной задаче конечный объём должен быть больше;
• проверяйте, что ответ получился положительным — объём тела не может быть отрицательным.

Для ЕГЭ База полезно запомнить короткое правило: объём тела = конечный объём содержимого − начальный объём жидкости.