Цилиндры, конусы, шары: задания с ответами

Используем формулу объёма цилиндра:

V = πr²h, где r — радиус основания, h — высота.

Найдём объёмы каждого цилиндра отдельно.

1) Объём первого цилиндра:

V₁ = π · 3² · 8 = π · 9 · 8 = 72π.

2) Объём второго цилиндра:

V₂ = π · 2² · 9 = π · 4 · 9 = 36π.

Теперь найдём, во сколько раз объём первого больше объёма второго:

V₁ / V₂ = 72π / 36π = 2.

Ответ: 2.

Почему π сокращается? Потому что оно входит в формулу объёма обоих цилиндров одинаковым множителем. При делении одинаковые множители можно сокращать.

Частые ошибки:

1) забывают возвести радиус в квадрат;
2) вместо отношения объёмов сравнивают только радиусы или только высоты;
3) не сокращают π и получают лишние выражения;
4) путают, какой объём делят на какой.

Как себя проверять на ЕГЭ: если ответ — «во сколько раз», значит нужно найти отношение V₁/V₂. Для цилиндров всегда подставляйте в формулу πr²h и только потом сокращайте. Так вы почти не потеряете баллы на базовом уровне.

Используем основную формулу для полной площади поверхности конуса:

S_полн = S_осн + S_бок.

В таких задачах важно понять, что полная площадь состоит из двух частей: площади основания и площади боковой поверхности. Если требуется найти боковую поверхность, нужно просто вычесть площадь основания из полной площади.

Подставим данные из условия:

S_бок = S_полн - S_осн = 72 - 18 = 54 см².

Ответ: 54.

Как не потерять балл в похожих заданиях:

• не путайте полную и боковую площадь;
• если спрашивают боковую поверхность, почти всегда нужно использовать формулу S_бок = S_полн - S_осн;
• проверяйте, что ответ положительный: если вы вычли правильно, боковая площадь не может быть отрицательной.

Это типичный базовый приём ЕГЭ: сначала вспомнить состав полной поверхности, а потом выполнить одно действие — вычитание.

Используем формулу объёма шара:

V = (4/3) π r³.

По условию радиус равен 3. Подставим это значение:

V = (4/3) π · 3³ = (4/3) π · 27.

Теперь вычислим:

(4/3) · 27 = 36, значит V = 36π.

Но в задаче просят найти объём, делённый на π. Поэтому делим полученный результат на π:

V/π = 36.

Ответ: 36.

Полезно помнить: в таких заданиях ЕГЭ База часто просят не сам объём, а объём, делённый на π. Это удобно, потому что в ответе не остаётся символа π. Частая ошибка — забыть возвести радиус в куб или перепутать формулу объёма шара с формулой площади поверхности. Проверка себя простая: если радиус 3, то 3³ = 27, а потом коэффициент 4/3 уменьшает 27 до 36. Если у вас получается число намного меньше или больше без причины, стоит ещё раз перепроверить формулу.

В таких задачах главное помнить: в цилиндрическом сосуде уровень жидкости пропорционален её объёму, потому что площадь основания сосуда постоянна.

Обозначим площадь основания цилиндра через S. Тогда начальный уровень воды равен

h₁ = 180 / S.

Когда шар полностью погружают в воду, он вытесняет объём, равный своему объёму. Значит, воды и вытесненного объёма вместе становится

180 + 60 = 240 см³.

Новый уровень воды:

h₂ = 240 / S.

Теперь найдём, во сколько раз увеличился уровень:

h₂ / h₁ = (240 / S) / (180 / S) = 240 / 180 = 4 / 3.

Ответ: 4/3.

Почему так можно делать? Потому что при одной и той же площади основания изменение уровня зависит только от изменения объёма. Площадь S сокращается, и знать размеры сосуда не нужно.

Типичная ошибка: складывать не объёмы, а высоты или считать только отношение объёма шара к объёму воды. Нужно сравнивать новый общий объём с начальным объёмом воды.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если тело полностью погружено и сосуд цилиндрический, то уровень увеличивается ровно во столько раз, во сколько увеличился объём жидкости в сосуде. В этой задаче было 180, стало 240, значит коэффициент равен 240/180.

Ключевая идея здесь такая: у шара и площадь поверхности, и объём зависят от радиуса, но по-разному.

Формулы такие:

• площадь поверхности шара: S = 4πr²;
• объём шара: V = (4/3)πr³.

Это значит, что площадь пропорциональна квадрату радиуса, а объём пропорционален кубу радиуса.

Обозначим радиусы шаров через r₁ и r₂. По условию

S₁ / S₂ = 9.

Так как S ∼ r², получаем:

(r₁ / r₂)² = 9.

Отсюда

r₁ / r₂ = 3.

Теперь переходим к объёмам. Так как V ∼ r³, то

V₁ / V₂ = (r₁ / r₂)³ = 3³ = 27.

Ответ: 27.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте степень для площади и для объёма: у площади 2, у объёма 3;
• если дано отношение площадей, сначала находят отношение радиусов, а потом уже отношение объёмов;
• если отношение площадей — это квадрат числа, то радиусы отличаются в корень из этого числа, а объёмы — в куб этого корня.

Для самопроверки можно запомнить короткую схему: площадь → квадрат радиуса → корень; объём → куб радиуса. В этой задаче из 9 получается 3, а затем из 3 — 27.

Используем главную формулу площади боковой поверхности конуса:

S_{бок} = πrl,

где r — радиус основания, l — образующая. В задаче даны S_{бок} = 120π и l = 15, нужно найти r.

Подставим значения в формулу:

120π = π · r · 15.

Теперь делим обе части на π и на 15:

120 = 15r,

r = 120 / 15 = 8.

Значит, радиус основания равен 8.

Ответ: 8.

Полезно помнить типичную схему для ЕГЭ База: если дана боковая поверхность конуса и образующая, почти всегда нужно просто аккуратно записать формулу S_{бок}=πrl и выразить неизвестный параметр. Частая ошибка — по невнимательности взять формулу полной площади поверхности S_{полн}=πr(l+r). Она здесь не нужна, потому что в условии сказано именно о площади боковой поверхности.

Ещё одна типичная ошибка — забыть про множитель π или неверно разделить на образующую. Чтобы быстро проверить себя, можно мысленно оценить ответ: если S_{бок}=120π, а l=15, то r должно быть достаточно простым целым числом, и действительно получается 8.

Для решения таких задач нужно вспомнить формулу площади боковой поверхности конуса:

S_бок = πrl,

где r — радиус основания, а l — образующая конуса.

В задаче даны:

• S_бок = 48π,
• l = 12.

Подставим эти значения в формулу:

48π = π · r · 12.

Теперь упростим уравнение. Сократим на π с обеих сторон:

48 = 12r.

Осталось найти r:

r = 48 / 12 = 4.

Ответ: 4.

На ЕГЭ База в таких задачах часто проверяют, умеете ли вы правильно использовать именно формулу боковой поверхности. Частая ошибка — случайно взять формулу полной поверхности или забыть, что в формуле стоит именно произведение πrl. Ещё одна типичная ошибка — не сократить π, хотя в таких заданиях это обычно специально сделано, чтобы ответ получился целым числом.

Полезный способ самопроверки: после вычисления подставьте ответ обратно в формулу. Если r = 4, то S_бок = π · 4 · 12 = 48π, значит, ответ найден верно.

В экзамене важно действовать спокойно и по шаблону: формула → подстановка → упрощение → ответ. Тогда такие задания решаются быстро и без потери баллов.

Для цилиндра объём находится по формуле

V = πr²h,

где r — радиус основания, а h — высота цилиндра.

Нужно найти, во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго. Значит, составляем отношение:

V₁ / V₂ = (πr₁²h₁) / (πr₂²h₂).

Подставим данные:

V₁ / V₂ = (π·3²·8) / (π·2²·6).

Сокращаем π, потому что оно есть и в числителе, и в знаменателе:

V₁ / V₂ = (3²·8) / (2²·6) = (9·8) / (4·6) = 72/24 = 3.

Значит, объём первого цилиндра в 3 раза больше объёма второго.

Ответ: 3.

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• не забывайте, что радиус входит в формулу в квадрате;
• при сравнении объёмов одинаковые множители, например π, удобно сразу сокращать;
• внимательно следите, какой объём стоит в числителе, а какой — в знаменателе: если перепутать, получится обратное отношение.

Быстрая проверка: если ответ получился больше 1, значит первый цилиндр действительно больше второго. Здесь это логично, потому что у первого и радиус больше, и высота больше.

Здесь используется метод вытеснения. Если тело полностью погружено в жидкость и жидкость несжимаема, то объём тела равен объёму вытесненной жидкости.

В цилиндрическом сосуде объём вытесненной жидкости легко найти по формуле:

V = S_осн · h,

где S_осн — площадь основания сосуда, а h — на сколько поднялся уровень жидкости.

По условию:

• площадь основания сосуда 18 см²,
• уровень жидкости поднялся на 7 см.

Тогда объём камня равен:

V = 18 · 7 = 126 см³.

Ответ: 126.

Как не ошибиться на ЕГЭ База: не перепутайте высоту сосуда и подъём уровня жидкости. В этой задаче нужна именно величина подъёма. Ещё одна типичная ошибка — пытаться искать объём по формуле цилиндра через радиус и высоту. Это не требуется: достаточно умножить площадь основания на изменение уровня воды.

Используем формулу площади боковой поверхности конуса:

S_бок = πrl,

где r — радиус основания, l — образующая.

Найдём площади боковых поверхностей обоих конусов.

Для первого конуса:

S₁ = π · 3 · 8 = 24π.

Для второго конуса:

S₂ = π · 4 · 6 = 24π.

Теперь составим отношение площадей:

S₁ / S₂ = 24π / 24π = 1.

Значит, площади боковых поверхностей равны, то есть первая не больше второй и не меньше второй — они одинаковые. Поэтому ответ: 1.

Как не потерять баллы на ЕГЭ: в таких задачах важно не искать высоту конуса, если она не нужна. Если спрашивают отношение площадей боковых поверхностей, сразу пишем формулу πrl. Затем можно заметить, что π сокращается, и сравнивать нужно только произведения r · l. Частая ошибка — брать только радиусы или только образующие. Ещё одна ошибка — перепутать, какую площадь ищут: боковую или полную. Здесь нужна именно боковая поверхность.

Для цилиндра объём находится по формуле V = πr²h, где r — радиус основания, а h — высота. В таких задачах важно помнить: если размеры тела меняются, то объём меняется не так же, как длина, потому что радиус входит в формулу в квадрате.

Разберём условие.

У первого цилиндра радиус r, высота h.

У второго цилиндра радиус стал в 2 раза больше, значит радиус равен 2r. Высота стала в 3 раза больше, значит высота равна 3h.

Теперь сравним объёмы:

V₁ = πr²h

V₂ = π(2r)²·(3h)

Возведём коэффициент при радиусе в квадрат:

(2r)² = 4r²

Тогда

V₂ = π·4r²·3h = 12πr²h

Но πr²h — это как раз объём первого цилиндра. Значит, V₂ = 12V₁.

Ответ: 12.

Полезная проверка для ЕГЭ: если один линейный размер увеличили в a раз, а другой в b раз, то для цилиндра отношение объёмов равно a²·b, потому что радиус даёт квадрат, а высота — первую степень. Частая ошибка — умножить только 2·3=6 и забыть про квадрат радиуса. Именно поэтому правильный множитель здесь не 6, а 12.

Используем формулу объёма цилиндра: V = \pi r^2 h, где r — радиус основания, h — высота.

По условию высота h не меняется, а радиус увеличили в 4 раза. Значит, вместо r теперь будет 4r.

Подставим это в формулу:

V_{нов} = \pi (4r)^2 h = \pi \cdot 16r^2 \cdot h = 16\pi r^2 h.

Сравниваем с исходным объёмом V = \pi r^2 h. Видно, что новый объём стал в 16 раз больше.

Ответ: 16.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База: если меняется только радиус цилиндра, а высота остаётся той же, объём меняется как квадрат радиуса. То есть при увеличении радиуса в k раз объём увеличивается в k^2 раз.

Частая ошибка: многие отвечают 4, думая, что объём растёт так же, как радиус. Это неверно, потому что радиус в формуле стоит в квадрате. Ещё одна ошибка — случайно учитывать изменение диаметра вместо радиуса. Нужно внимательно читать условие: если сказано именно про радиус, используем его.

Проверка себя: если радиус увеличился в 4 раза, площадь основания увеличится в 4^2 = 16 раз. При той же высоте объём тоже увеличится в 16 раз.