Подсчёт и логические рассуждения: задания с ответами

Здесь нужно использовать не формулу “наугад”, а обычное логическое рассуждение по условиям задачи.

По условию всего деталей 72, а они распределены так: a коробок, в каждой по b пакетиков, в каждом пакетике по c деталей. Значит, выполняется равенство:

a · b · c = 72.

Кроме того, числа натуральные и строго упорядочены:

a > b > c, а также c > 1.

Наша задача — найти b. Чтобы это сделать, нужно разложить 72 на три натуральных множителя так, чтобы они шли по убыванию и самый маленький был больше 1.

Переберём подходящие разложения 72 на три множителя. Удобно начинать с маленького множителя c:

• если c = 2, то остаётся a · b = 36. Подходящее разложение с a > b > 2 есть, например 9 · 4 = 36. Тогда получаем a = 9, b = 4, c = 2;
• если c = 3, то a · b = 24. Но разложение 8 · 3 = 24 не подходит, потому что нужно b > c, а здесь b = c;
• если c = 4, то a · b = 18, но подходящей пары с a > b > 4 нет;
• при больших c это тем более не получится, потому что два оставшихся множителя должны быть ещё больше.

Значит, единственное подходящее разложение — это 72 = 9 · 4 · 2.

Следовательно, b = 4.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: всегда записывайте произведение всех трёх параметров и сразу проверяйте порядок чисел. Частая ошибка — найти просто любое разложение числа, но забыть про строгие неравенства a > b > c. Ещё одна ошибка — взять случай, когда два числа равны, хотя по условию это запрещено.

Обозначим количество шариков в третьей коробке через x. Тогда по условию:

в первых двух коробках шариков 5 + 8 = 13,

в третьей и четвёртой вместе — x + 7.

Фраза «в первых двух коробках вместе шариков на 2 больше, чем в третьей и четвёртой вместе» означает, что число шариков в первых двух коробках больше на 2, то есть

13 = (x + 7) + 2.

Теперь решим уравнение:

13 = x + 9,

x = 4.

Ответ: 4.

Как не ошибиться в таких задачах: сначала аккуратно переведите текст в равенство. Слова «на 2 больше» всегда означают, что к меньшему количеству прибавили 2. Частая ошибка — написать наоборот и получить неверное уравнение. Полезно после решения сделать проверку: если в третьей коробке 4 шарика, то в третьей и четвёртой вместе 11, а в первых двух — 13, действительно на 2 больше.

Это задача на принцип двойного счёта. Здесь важно понять, что каждое рукопожатие соединяет ровно двух людей, значит, если мы будем считать «сколько рукопожатий у каждого сотрудника», то одно и то же рукопожатие окажется учтено дважды.

Шаг 1. Посчитаем все рукопожатия так, как будто считаем их у каждого сотрудника отдельно. У 12 сотрудников по 5 рукопожатий, значит, сумма равна:

12 × 5 = 60.

Шаг 2. Но это не ответ, потому что каждое рукопожатие попало в подсчёт два раза: один раз у первого человека и ещё один раз у второго. Поэтому нужно разделить результат на 2:

60 : 2 = 30.

Значит, всего было 30 рукопожатий.

Почему так происходит? Если, например, А пожал руку Б, то при подсчёте «по людям» это рукопожатие входит и в список А, и в список Б. Поэтому сумма степеней всех вершин (в задаче это число рукопожатий у каждого сотрудника) всегда вдвое больше общего числа связей.

Полезная формула для ЕГЭ База: если у n объектов по d связей у каждого, то общее число связей равно (n × d) / 2.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• умножьте количество объектов на число связей у каждого;
• не забудьте, что каждая связь посчитана дважды;
• обязательно разделите на 2;
• ответ должен быть целым числом.

Типичная ошибка: многие пишут 60 вместо 30, забывая про двойной счёт. В задачах на связи, рукопожатия, ребра графа всегда проверяйте: одна связь соединяет две вершины, значит, в сумме она учитывается дважды.

Решаем задачу через изменение общего количества предметов за один обмен. Это самый удобный способ для таких задач ЕГЭ База: не нужно отдельно считать маленькие и большие фишки, достаточно понять, на сколько меняется общее число предметов.

1. Найдём, как меняется количество фишек за один обмен.
По условию 2 маленькие фишки меняют на 5 больших. Значит, было 2 фишки, а стало 5 фишек. Общее количество увеличилось на:

5 − 2 = 3.

То есть один обмен увеличивает общее число фишек на 3.

2. Сравним начальное и конечное количество.
Сначала было 240 фишек, потом стало 303 фишки. Общее увеличение равно:

303 − 240 = 63.

3. Разделим общее изменение на изменение за один обмен.
Если один обмен даёт +3 фишки, а всего прибавилось 63 фишки, то число обменов равно:

63 ÷ 3 = 21.

Ответ: 21.

Почему это правильно?
При каждом обмене общее число предметов изменяется одинаково. Поэтому общее изменение можно найти как произведение числа обменов на изменение за один обмен. Если обозначить число обменов через k, то можно составить уравнение:

240 + 3k = 303.

Тогда 3k = 63, откуда k = 21.

Типичная ошибка: некоторые ученики пытаются считать, что «2 поменяли на 5» значит просто прибавили 5 и вычли 2 без понимания общего эффекта. Но важно помнить: мы считаем не количество каждого вида отдельно, а общее число объектов. Поэтому нужно смотреть именно на разницу между полученным и отданным количеством.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• сначала найдите изменение за 1 обмен;
• потом найдите общее изменение по условию;
• разделите общее изменение на изменение за один обмен;
• ответ должен быть целым неотрицательным числом.

Если при делении получается нецелое число, значит, где-то допущена ошибка в расчётах или условие прочитано неверно.

Обозначим через k число обменов. Важно понять главное правило: при одном обмене общее количество шариков меняется не на 3 и не на 5, а на разность между полученными и отданными шариками.

В задаче за один обмен убирают 3 шарика и добавляют 5 шариков. Значит, общее количество увеличивается на 2 шарика за один обмен.

Составим уравнение для общего количества:

84 + 2k = 104

Теперь найдём разницу между конечным и начальным количеством:

104 - 84 = 20

Так как за один обмен прибавляется 2 шарика, получаем:

k = 20 : 2 = 10

Ответ: 10.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: если после обмена количество предметов стало больше, значит чистое изменение должно быть положительным; если стало меньше — отрицательным. Далее нужно просто разделить общее изменение на изменение за один обмен. Важно не перепутать и не делить 84 или 104 на 2 — делить надо именно разницу между ними.

Типичная ошибка: некоторые считают, что раз обменяют 3 шарика, значит число обменов надо искать по 3. Это неверно, потому что 3 шарика не исчезают «впустую» — вместо них сразу кладут 5 новых, и именно это определяет изменение общего количества.

Здесь удобно использовать принцип двойного счёта. Он часто встречается в задачах ЕГЭ базового уровня: один и тот же объект можно посчитать двумя способами, а потом приравнять результаты.

Разберём задачу по шагам.

1. Что дано? Есть 8 сотрудников, и у каждого ровно 3 коллеги-друга. Это значит, что если сложить количество друзей у всех сотрудников, мы получим:

8 × 3 = 24.

2. Почему это число не равно ответу? Потому что каждая дружеская пара считается дважды: если сотрудник A дружит с сотрудником B, то в подсчёте A назовёт B своим другом, и B назовёт A своим другом. Значит, одна пара попала в сумму два раза.

3. Что нужно сделать? Чтобы получить число пар, надо разделить 24 на 2:

24 : 2 = 12.

Ответ: 12.

Почему именно так? В задачах на связи между объектами очень важно помнить: если связь неориентированная, то она учитывается у обоих концов. Это и есть типичная ловушка ЕГЭ: многие умножают количество объектов на число связей и забывают поделить на 2.

Как быстро себя проверить? Можно мысленно представить маленький пример. Если 2 человека дружат между собой, то у каждого по 1 другу, сумма степеней равна 2, а пар всего 1. То есть действительно нужно делить на 2.

Здесь удобно использовать принцип двойного счёта. Он заключается в том, что один и тот же объект считают двумя разными способами, а затем приравнивают результаты.

Посчитаем число «концов связей». У каждого из 8 учеников по 3 дружеские связи, значит, если сложить все степени, получим:

8 × 3 = 24.

Но важно понять, что каждая дружеская связь посчитана дважды: один раз у первого ученика и второй раз у второго. Поэтому число всех связей надо разделить на 2:

24 : 2 = 12.

Ответ: 12.

Это типичный приём для заданий ЕГЭ База по подсчёту и логическим рассуждениям: если в условии сказано, что у каждого объекта одинаковое число связей, сначала перемножаем количество объектов на число связей у одного объекта, а потом обязательно делим на 2, потому что каждая связь учитывается дважды.

Как быстро себя проверить: если вы получили число, которое слишком большое, скорее всего, вы забыли про деление на 2. Например, здесь 24 — это не число связей, а число «учётов» связей. Реальное число связей должно быть меньше в 2 раза.

Частые ошибки:

• пишут 8 × 3 = 24 и останавливаются;
• считают, что связь между двумя учениками относится только к одному из них;
• делят не на 2, а на что-то другое.

Запомните короткое правило: сумма степеней всех объектов = 2 × число связей. Значит, чтобы найти число связей, нужно сумму степеней разделить на 2.

Это задача на принцип двойного счёта. В подобных задачах удобно сначала посчитать одно и то же явление двумя способами, а потом приравнять результаты.

Здесь каждая связь — это одно рукопожатие между двумя учениками. Если мы сложим, сколько раз каждый ученик пожал руку, то получим сумму степеней: 14 · 5 = 70.

Но важно понять главное: каждое рукопожатие при таком подсчёте учитывается дважды. Почему? Потому что оно относится и к первому ученику, и ко второму. Значит, число рукопожатий нужно найти так:

70 : 2 = 35.

Ответ: 35.

Как запомнить приём для ЕГЭ База: если каждому объекту соответствует одинаковое число связей, сначала умножьте число объектов на число связей у одного объекта, а потом обязательно разделите на 2, если связь соединяет ровно две стороны. Это самая частая ошибка: школьники часто останавливаются на произведении и забывают, что одна и та же связь посчитана два раза.

Проверка себя: результат должен быть целым числом и не превышать общее число пар учеников. Здесь 35 — разумный ответ.

Обозначим количество шариков в коробках: во второй — x, в третьей — y, в четвёртой — z. Тогда по условию:

1) в первой коробке 2 шарика;
2) во второй столько же, сколько в третьей и четвёртой вместе, то есть x = y + z;
3) в третьей на 1 шарик больше, чем в четвёртой, значит y = z + 1;
4) всего шариков 17, значит 2 + x + y + z = 17.

Теперь подставим выражения. Из y = z + 1 получаем:

x = y + z = (z + 1) + z = 2z + 1.

Подставим это в сумму всех шариков:

2 + x + y + z = 17
Заменяем x и y:
2 + (2z + 1) + (z + 1) + z = 17.

Складываем:

2 + 2z + 1 + z + 1 + z = 17
4z + 4 = 17
4z = 13.

Но это невозможно, если количество шариков — целое неотрицательное число. Значит, в условии есть противоречие, и такого распределения шариков не существует.

Важный вывод для ЕГЭ: прежде чем искать ответ, всегда проверяйте, не получается ли противоречие. Если при составлении уравнений выходит невозможное равенство, значит в задаче либо ошибка, либо условия несовместимы. В корректной задаче ответ должен быть целым числом и удовлетворять всем условиям одновременно.

Здесь поэтому правильный вывод: решения нет.

Решим задачу по смыслу, а потом проверим ответ арифметически.

Сначала найдём, как меняется общее число жетонов за один обмен. Школьник отдаёт 5 жетонов и получает 8 жетонов. Значит, за один обмен общее количество жетонов увеличивается на 3:

8 − 5 = 3.

Теперь сравним начальное и конечное количество жетонов. Было 74, стало 104. Общий прирост составил:

104 − 74 = 30.

Если за один обмен прибавляется 3 жетона, то число обменов равно:

30 : 3 = 10.

Ответ: 10.

Как удобно рассуждать в таких задачах на ЕГЭ База: не нужно следить отдельно за каждым видом предметов. Достаточно понять чистое изменение за один обмен и затем разделить общее изменение на это число. Это самый быстрый и надёжный способ.

Проверка: после 10 обменов станет на 10 × 3 = 30 жетонов больше. Тогда 74 + 30 = 104, что совпадает с условием. Значит, ответ верный.

Типичная ошибка: некоторые ученики складывают 5 и 8 или пытаются делить 74 и 104 на какие-то числа. Но в таких задачах важен не сам обмен по отдельным предметам, а изменение общего количества за один обмен.

Главная идея здесь такая: все соседние пары клеток в прямоугольной таблице можно разбить на три непересекающихся типа:

1. пары двух синих клеток;
2. пары двух зелёных клеток;
3. пары разных цветов.

Если мы знаем общее число всех соседних пар и уже знаем два из трёх типов, то третий находится вычитанием.

1. Найдём общее число соседних пар в таблице 4×5.

Соседство рассматривается только по общей стороне, то есть по горизонтали и вертикали.

• По горизонтали в каждой из 4 строк есть 5−1=4 соседних пары, значит всего 4·4=16.
• По вертикали в каждом из 5 столбцов есть 4−1=3 соседних пары, значит всего 5·3=15.

Итак, общее число соседних пар:

16 + 15 = 31.

2. Используем разбиение на три типа.

Пусть число пар двух зелёных клеток равно x. Тогда:

пары синих + пары зелёных + пары разных цветов = все пары

То есть:

9 + x + 17 = 31.

3. Находим неизвестное.

x = 31 − 9 − 17 = 5.

Ответ: 5.

Почему этот способ надёжный на ЕГЭ База? Потому что здесь работает инвариант: сколько бы ни была раскрашена таблица, число соседних пар зависит только от размеров таблицы, а не от самой раскраски. Поэтому сначала всегда удобно считать общее число соседств, а потом распределять их по видам.

Частые ошибки:

• считать диагональные клетки соседями — это неверно;
• забыть про вертикальные пары и учесть только горизонтальные;
• неправильно посчитать общее число пар, например умножить 4·5 вместо подсчёта соседств;
• сложить известные числа и остановиться, не сравнив их с общим количеством.

Быстрая проверка: сумма известных пар 9 + 17 = 26, а всего пар 31, значит для зелёных пар остаётся 31 − 26 = 5. Значение неотрицательное и выглядит разумно, значит ответ согласован.

Обозначим количество шаров в коробке B через x. Тогда по условию:

1) левее коробки C стоят коробки A и B, значит

6 + x = 9.

Отсюда

x = 9 - 6 = 3.

Проверим второе условие. Правее коробки B стоят коробки C и D, поэтому там должно быть

8 + 5 = 13,

что действительно совпадает с условием. Значит, решение верное.

Ответ: 3.

Как рассуждать в таких задачах на ЕГЭ База:

1. Сначала внимательно определяйте, какие коробки находятся слева или справа от указанной.
2. Затем записывайте сумму именно этих коробок, а не всех подряд.
3. Если условие содержит сумму слева или справа, это обычно сразу даёт простое уравнение на неизвестное число.
4. После нахождения ответа полезно подставить его обратно и быстро проверить все условия.

Частая ошибка — перепутать, какие коробки входят в левую или правую часть. Например, некоторые по невнимательности включают в сумму коробку C, хотя она не находится левее самой себя. В этой задаче важно помнить: левее C — это только A и B, а правее B — это только C и D.

Если в задаче есть несколько условий, всегда используйте их для проверки ответа. Это помогает не потерять баллы из-за вычислительной ошибки.