Конструктивные и геометрические задачи: задания с ответами

Главная идея таких задач — не пытаться «усреднять средние», а перейти от среднего арифметического к сумме чисел.

Если среднее арифметическое 5 чисел равно 12, то сумма этих 5 чисел равна 5 · 12 = 60.

После добавления ещё одного числа стало 6 чисел, и их среднее арифметическое равно 13. Значит, новая сумма равна 6 · 13 = 78.

Добавленное число — это разность между новой суммой и старой суммой:

78 − 60 = 18.

Ответ: 18.

Как проверять себя на ЕГЭ База: если добавить положительное число, а среднее увеличилось с 12 до 13, то само добавленное число должно быть больше 12. Число 18 этому условию подходит. Типичная ошибка — сложить 12 и 13 или взять их разность без учёта количества чисел. Правильный путь всегда такой: сначала находите сумму, потом сравниваете суммы, и только затем находите неизвестное число.

Рассмотрим, какие конечные точки можно получить после ровно 7 шагов длиной 1.

Каждый шаг изменяет координату на +1 или -1. Значит, после 7 шагов конечная координата зависит только от того, сколько шагов было сделано вправо и сколько влево.

Пусть вправо сделано r шагов, а влево — l шагов. Тогда

r + l = 7,

а конечная координата равна

x = r - l.

Так как число шагов фиксировано и равно 7, то r может принимать значения от 0 до 7. При этом каждому значению r соответствует своя конечная точка. Посмотрим, какие координаты получаются:

если r = 0, то x = -7;
если r = 1, то x = -5;
если r = 2, то x = -3;
если r = 3, то x = -1;
если r = 4, то x = 1;
если r = 5, то x = 3;
если r = 6, то x = 5;
если r = 7, то x = 7.

Мы видим 8 различных конечных точек. Это число можно получить и быстрее: после n шагов длины 1 возможны все координаты того же знака, что и n по четности, от -n до n с шагом 2. Таких чисел ровно n + 1. Для n = 7 получаем 7 + 1 = 8.

Ответ: 8.

Полезно помнить типичную ошибку: некоторые ученики начинают считать не различные конечные точки, а все возможные маршруты. Это разные вещи. Например, до точки 1 можно прийти разными способами, но сама точка считается один раз. В задачах этого типа всегда нужно считать именно конечные положения.

Обозначим ширины левой и правой частей прямоугольника через a и b, а высоты верхней и нижней частей — через c и d. Тогда площади четырёх маленьких прямоугольников будут равны:

1) верхний левый: ac = 6,
2) верхний правый: bc = 9,
3) нижний левый: ad = 10,
4) нижний правый: bd = ?

Теперь используем главное свойство: если две части лежат в одном ряду, то у них одинаковая высота; если в одном столбце — одинаковая ширина. Поэтому можно сравнивать площади через общие множители.

Из равенств ac = 6 и bc = 9 получаем, что отношение ширин a : b = 6 : 9 = 2 : 3. Это важно: высота c одинаковая, значит она сокращается.

Тогда в нижнем ряду площадь правого прямоугольника найдём так же через то же отношение. Если a : b = 2 : 3, а площадь левого нижнего прямоугольника равна ad = 10, то правый нижний будет больше в 3/2 раза:

bd = 10 · 3/2 = 15.

Можно проверить и другим способом. Из ac = 6 и bc = 9 находим, что b/a = 9/6 = 3/2. Тогда при одинаковой высоте нижнего ряда площадь справа тоже в 3/2 раза больше: 10 · 3/2 = 15.

Ответ: 15.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не пытайтесь просто складывать или вычитать площади. Здесь работает не сумма, а связь через общие стороны прямоугольников. Удобный приём — сразу обозначить четыре части буквами и составить два отношения: по верхнему ряду и по левому столбцу. После этого неизвестная площадь находится за один шаг.

Разберём задачу спокойно и по шагам.

В книге страницы нумеруются подряд. Если выпало несколько листов, то вместе с ними пропал целый блок страниц, а после этого нумерация продолжается дальше без разрывов. Значит, если последняя видимая страница перед пропуском — 427, а первая видимая страница после пропуска — 724, то между ними отсутствуют все страницы от 428 до 723 включительно.

Сначала найдём, сколько страниц пропало:

724 − 427 − 1 = 296.

Почему здесь вычитаем ещё 1? Потому что страницы 427 и 724 сами не пропали, они стоят по краям пропуска. Нужно посчитать только страницы между ними.

Теперь переводим страницы в листы. В книге один лист содержит 2 страницы. Поэтому число выпавших листов равно:

296 : 2 = 148.

Ответ: 148.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: если номера страниц до и после пропуска известны, всегда сначала находите число пропавших страниц, а потом делите на 2, потому что лист — это две страницы. Частая ошибка — забыть вычесть 1 при подсчёте страниц между двумя номерами. Ещё одна ошибка — сразу делить разность номеров на 2, не учитывая, что сами крайние страницы тоже считаются.

Сначала находим сумму всех оценок. Это важный шаг: в таких задачах нельзя путать сумму с произведением или сразу пытаться округлять отдельные числа.

Складываем: 2 + 3 + 3 + 4 + 5 = 17.

Теперь находим среднее арифметическое: нужно сумму разделить на количество чисел. Оценок пять, значит

17 / 5 = 3,4.

Округляем до целого по обычным школьным правилам: если дробная часть меньше 0,5, округляем вниз; если 0,5 и больше — вверх. Число 3,4 округляется до 3.

Ответ: 3.

Как проверять себя на ЕГЭ База: 1) сначала всегда находите сумму; 2) делите на количество элементов; 3) только потом округляйте; 4) не перепутайте правило округления. Типичная ошибка — округлить раньше времени, например сначала заменить 3,4 на 3 и уже потом считать, или забыть, что нужно именно среднее арифметическое, а не просто «среднюю» оценку на глаз.

Здесь важно заметить главное свойство разбиения прямоугольника двумя прямыми на 4 части: в каждой строке у прямоугольников одинаковая высота, а в каждом столбце — одинаковая ширина.

Обозначим ширины левого и правого столбцов через a и b, а высоты верхней и нижней строк через c и d. Тогда площади четырёх частей равны:

верхняя левая: ac = 12, верхняя правая: bc = 18, нижняя левая: ad = 20. Нужно найти нижнюю правую часть: bd.

Теперь используем соотношение площадей. Если разделить вторую площадь на первую, получим:

bc / ac = b / a = 18 / 12 = 3 / 2.

То есть правый столбец в 3/2 раза шире левого.

Если разделить третью площадь на первую, получим:

ad / ac = d / c = 20 / 12 = 5 / 3.

То есть нижняя строка в 5/3 раза выше верхней.

Тогда искомая площадь равна площади верхней левой части, умноженной на оба коэффициента:

bd = ac · (b/a) · (d/c) = 12 · (3/2) · (5/3) = 30.

Ответ: 30.

Как можно быстро проверять такие задачи на ЕГЭ База:

• в одной строке площади отличаются только из-за ширины;
• в одном столбце площади отличаются только из-за высоты;
• удобно брать одну известную клетку за основу и через отношения находить четвёртую;
• не нужно искать длины сторон — достаточно отношений площадей.

Типичная ошибка — пытаться просто складывать или вычитать площади. Это не работает, потому что неизвестная часть зависит не от суммы двух соседних клеток, а от общего разбиения по ширине и высоте.

Ключевая идея здесь очень простая: если на отрезке сделать n разрезов, то он распадётся на n+1 часть. Это базовое правило нужно помнить автоматически, потому что в таких задачах именно от него строится решение.

Переведём данные из условия в число разрезов.

• По первому набору получилось 5 частей, значит, было 4 разреза.
• По второму набору получилось 6 частей, значит, было 5 разрезов.
• По третьему набору получилось 4 части, значит, было 3 разреза.

Теперь важно понять смысл слов «по всем наборам одновременно». Это означает, что все разрезы надо учесть вместе. Так как в подобных базовых задачах наборы отметок считаются разными и все разрезы попадают в общую картину, общее число разрезов равно:

4 + 5 + 3 = 12.

Тогда число частей будет на 1 больше:

12 + 1 = 13.

Ответ: 13.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не складывайте сразу числа частей — сначала нужно перейти к числу разрезов;
• помните формулу: частей = разрезов + 1;
• если в ответах есть число, которое получилось при сложении частей, это часто ловушка.

Быстрая проверка: если бы разрезов было 0, частей был бы 1. Значит, при каждом новом разрезе число частей увеличивается на 1. В нашей задаче разрезов всего 12, значит частей должно быть 13 — это логично и удобно для самопроверки.

Обозначим стороны большого прямоугольника и линии разреза так, чтобы получились четыре прямоугольника в виде таблицы 2×2. Тогда у каждого малого прямоугольника периметр выражается через сумму его ширины и высоты:

P = 2(a+b).

Главная идея таких задач в том, что соседние прямоугольники имеют общие размеры по одной из сторон. Поэтому, если записать периметры всех четырёх маленьких прямоугольников, получится удобная закономерность: сумма периметров двух диагонально противоположных прямоугольников равна сумме периметров двух других диагонально противоположных прямоугольников.

Это можно увидеть и по формулам. Пусть размеры разбиения по горизонтали равны x и y, а по вертикали — u и v. Тогда периметры четырёх прямоугольников будут:

1) 2(x+u), 2) 2(y+u), 3) 2(x+v), 4) 2(y+v).

Если сложить первый и четвёртый, а затем второй и третий, получится одно и то же:

2(x+u)+2(y+v)=2(x+v)+2(y+u).

Значит, для четырёх периметров выполняется правило: сумма двух противоположных равна сумме двух других противоположных.

Теперь подберём четвёртый периметр. Из чисел 18, 22 и 30 два меньших и одно большее. Удобно заметить, что

18 + 30 = 48.

Чтобы выполнялось правило, сумма оставшихся двух периметров тоже должна быть 48. Тогда неизвестный периметр равен

48 - 22 = 26.

Ответ: 26.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не пытайтесь сразу складывать все известные периметры или искать площади — здесь работает именно зависимость между периметрами частей при разбиении прямоугольника. Если в задаче даны три периметра из четырёх, почти всегда нужно использовать равенство сумм противоположных прямоугольников.

В таких задачах главное — понять, что меридианы и параллели делят поверхность сферы по-разному.

1. Что делают меридианы?
Все меридианы идут от одного полюса к другому и пересекаются в полюсах. Если провести m меридианов, то они делят сферу на m «секторов» — как дольки апельсина. Здесь проведено 7 меридианов, значит, получается 7 частей по долготе.

2. Что делают параллели?
Параллели не проходят через полюса и не пересекают друг друга. Каждая новая параллель добавляет ещё один «пояс». Если проведено n параллелей, то они делят сферу на n + 1 поясов. Здесь параллелей 4, значит, поясов будет 5.

3. Теперь перемножаем
Каждый сектор по долготе разбит на все пояса по широте, поэтому общее число частей равно:

7 × 5 = 35.

Ответ: 35.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте количество параллелей с количеством поясов: поясов всегда на 1 больше;
• меридианы дают число секторов ровно равное их количеству;
• если нужно быстро проверить себя, вспомните формулу: число частей = m · (n + 1).

В этой задаче: m = 7, n = 4, значит, 7 · (4 + 1) = 35.

Это задача на сумму арифметической прогрессии. Здесь важно не перепутать: в условии не просят цену за какой-то один час, а спрашивают общую оплату за все 7 часов.

Составим последовательность платежей по часам:

• 1-й час — 180 рублей;
• 2-й час — 200 рублей;
• 3-й час — 220 рублей;
• 4-й час — 240 рублей;
• 5-й час — 260 рублей;
• 6-й час — 280 рублей;
• 7-й час — 300 рублей.

Видно, что каждый следующий платёж увеличивается на 20 рублей. Значит, это арифметическая прогрессия, где

• a₁ = 180,
• d = 20,
• n = 7.

Для суммы первых n членов арифметической прогрессии используем формулу:

S = n(2a₁ + (n - 1)d) / 2.

Подставим числа:

S = 7(2·180 + (7 - 1)·20) / 2 = 7(360 + 120) / 2 = 7·480 / 2 = 7·240 = 1680.

Ответ: 1680.

Как себя проверять в таких задачах:

• сначала выпишите все платежи по порядку;
• убедитесь, что разность постоянна;
• не забудьте, что сумма считается за все часы, а не только за последний;
• если числа небольшие, полезно сделать быструю проверку сложением: 180 + 200 + 220 + 240 + 260 + 280 + 300 = 1680.

Частая ошибка — взять только первый и последний член и забыть умножить на количество пар. Правильная формула всегда учитывает и число членов, и разность.

Здесь нужно восстановить набор оценок по их произведению, а затем найти среднее арифметическое и округлить результат.

1. Разберём произведение 360 на множители из допустимых оценок. Допустимы только числа 2, 3, 4 и 5. Нужно получить произведение 360 из 5 чисел. Разложим 360 на простые множители:

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5.

Это как раз 6 множителей, но у нас всего 5 оценок. Значит, можно объединить некоторые множители в одно допустимое число. Например, 2 × 2 = 4, тогда получаем:

360 = 2 × 3 × 3 × 4 × 5.

Все числа здесь допустимы, и их ровно 5. Проверим, нет ли другого набора из 5 чисел 2, 3, 4, 5 с тем же произведением. Для базовой задачи важно заметить, что набор 2, 3, 3, 4, 5 подходит естественно и даёт единственный удобный вариант.

2. Найдём среднее арифметическое. Сумма оценок:

2 + 3 + 3 + 4 + 5 = 17.

Среднее арифметическое:

17 / 5 = 3,4.

3. Округлим до ближайшего целого. Число 3,4 ближе к 3, чем к 4, значит после округления получаем 3.

Ответ: 3.

Как не потерять балл на таких задачах:

• Сначала проверьте, что произведение можно собрать из разрешённых чисел.
• Не путайте произведение с суммой: здесь дано именно перемножение оценок.
• После нахождения суммы делите на количество чисел, а не на произведение.
• При округлении 3,4 нужно выбрать 3, потому что это ближе.

Обозначим через n число шагов. В этой задаче важно не считать все возможные маршруты, а понять, сколько разных конечных положений может получиться.

После каждого шага координата меняется на +1 или −1. Поэтому после 7 шагов конечная координата имеет вид

количество шагов вправо − количество шагов влево.

Если вправо было сделано k шагов, то влево было 7−k шагов, и конечная координата равна

k − (7−k) = 2k−7.

Теперь посмотрим, какие значения может принимать k: от 0 до 7. Тогда получаем координаты:

при k=0 → −7
при k=1 → −5
при k=2 → −3
при k=3 → −1
при k=4 → 1
при k=5 → 3
при k=6 → 5
при k=7 → 7.

Всего получилось 8 различных точек.

Ответ: 8.

Полезная идея для ЕГЭ: если шаги одинаковой длины и можно идти только в две стороны, то конечные координаты идут через одно число: …, −5, −3, −1, 1, 3, 5, …. Это связано с тем, что каждый дополнительный шаг меняет координату на 1, а разность между числом шагов вправо и влево меняется на 2. Очень частая ошибка — считать не точки, а все возможные последовательности шагов. Но в задаче спрашивают именно разные конечные положения, поэтому разные маршруты, приводящие в одну и ту же точку, считаются как один результат.