Конусы: задания с ответами

Здесь важно помнить главное свойство конуса: если два конуса подобны, то их линейные размеры относятся как коэффициент подобия, а объёмы — как куб этого коэффициента.

В задаче вода заполняет сосуд до 1/2 высоты. Это значит, что маленький конус воды подобен полному конусу, а коэффициент подобия по высоте равен 1/2.

Тогда отношение объёмов равно:

V_воды : V_{полного} = (1/2)³ = 1/8.

По условию объём воды равен 8 л, значит это 1/8 всего объёма сосуда. Тогда полный объём сосуда:

V_{полного} = 8 · 8 = 64 л.

Теперь находим, сколько нужно долить:

64 - 8 = 56 л.

Ответ: 56 л.

Как не ошибиться на ЕГЭ: многие по привычке считают, что при половине высоты объём тоже в 2 раза меньше. Но для конуса это неверно: объём зависит не линейно, а по кубу высоты. Поэтому при половине высоты объём становится в 8 раз меньше, а не в 2 раза. Удобная проверка: если заполнено ровно половина высоты конуса, воды должно быть очень мало по сравнению с полным объёмом — именно так и получается.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Если провести плоскость через ось конуса, то в сечении получится равнобедренный треугольник, а если взять половину этого сечения, то мы увидим прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:

• высота конуса — это один катет, здесь она равна 12;
• радиус основания — это второй катет, его нужно найти;
• образующая — это гипотенуза, здесь она равна 13.

Значит, можно применить теорему Пифагора:

l² = h² + r²,

где l — образующая, h — высота, r — радиус основания.

Подставим числа:

13² = 12² + r²

169 = 144 + r²

r² = 25

r = 5, так как радиус — положительная величина.

Ответ: 5.

Полезно помнить для ЕГЭ: если в задаче даны высота и образующая прямого конуса, то почти всегда нужно сразу вспоминать теорему Пифагора в осевом сечении. Частая ошибка — перепутать, что является гипотенузой. В конусе гипотенуза — это именно образующая, потому что она соединяет вершину конуса с точкой окружности основания. Ещё одна типичная ошибка — забыть взять положительный корень. Для радиуса подходит только положительное значение.

Короткая проверка: образующая должна быть больше высоты, и здесь 13 > 12, значит данные правдоподобны. Если бы получилось отрицательное число под корнем, это означало бы ошибку в вычислениях или в условии.

Главная идея здесь такая: если в конусе изменить высоту заполненной части, то меняется не только высота, но и радиус, а значит объём нельзя считать пропорциональным высоте. Для конуса объём зависит от линейных размеров в кубе.

Разберём задачу спокойно и по шагам.

1. Найдём, какая часть объёма останется.

Уровень жидкости опустили до 1/2 высоты сосуда. Это значит, что новая заполненная часть конуса подобна исходному конусу с коэффициентом подобия 1/2 по высоте. У подобных тел объёмы относятся как куб коэффициента подобия:

(1/2)³ = 1/8.

Значит, после понижения уровня в сосуде останется 1/8 первоначального объёма жидкости.

2. Найдём оставшийся объём.

Полный объём был 864 см³, значит осталось:

864 · 1/8 = 108 см³.

3. Найдём, сколько нужно вылить.

Изначально было 864 см³, осталось 108 см³, значит вылить нужно:

864 − 108 = 756 см³.

Ответ: 756 см³.

Почему часто ошибаются?

Очень распространённая ошибка — умножить объём на 1/2 вместо (1/2)³. Это неверно, потому что при уменьшении высоты конуса уменьшается и радиус, и площадь сечения, и всё это вместе даёт кубическую зависимость. Ещё одна типичная ошибка — найти оставшийся объём и по ошибке выбрать его как ответ, хотя в вопросе спрашивают именно объём вылитой жидкости.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База?

Если в задаче про конус сказано, что уровень стал в k раз меньше по высоте, то оставшийся объём равен k³ от исходного. Затем нужно не забыть, что спрашивают: осталось или вылить. Здесь спрашивают именно вылитый объём, то есть исходный минус оставшийся.

Ключевая идея здесь такая: если плоскость параллельна основанию конуса, то она отсекает сверху меньший конус, подобный исходному. Это значит, что у малого конуса все линейные размеры уменьшаются в одинаковое число раз.

По условию плоскость проходит на расстоянии 1/2 высоты от вершины. Значит, высота малого конуса составляет 1/2 высоты большого. Тогда и радиус основания малого конуса тоже уменьшится в 1/2 раза, потому что конусы подобны.

Теперь главное правило для объёмов подобных тел: объём изменяется как куб коэффициента подобия. Если линейный коэффициент равен 1/2, то объём малого конуса равен:

(1/2)^3 = 1/8 от объёма большого конуса.

Полный объём конуса равен 192, значит объём малого конуса:

192 · 1/8 = 24.

Ответ: 24.

Как не потерять баллы на ЕГЭ: сначала всегда определяйте, что именно отсекает плоскость — здесь это именно малый конус, а не усечённый. Затем находите долю высоты от вершины до сечения и только после этого возводите её в третью степень. Частая ошибка — умножать объём просто на 1/2 или на (1/2)^2. Для объёмов нужно именно куб.

Рассмотрим, как устроен прямой круговой конус. Если провести плоскость через ось конуса, то в сечении получится равнобедренный треугольник, а если взять половину этого сечения, мы получим прямоугольный треугольник, где:

• высота конуса — это один катет;
• радиус основания — это второй катет;
• образующая — это гипотенуза.

Угол между высотой и образующей находится именно в этом прямоугольном треугольнике. Для тангенса угла в прямоугольном треугольнике нужно взять отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Здесь относительно угла между высотой и образующей противолежащим катетом является радиус основания, а прилежащим — высота. Значит:

tg α = r / h = 6 / 8 = 3 / 4.

Ответ: 3/4.

Полезно запомнить короткое правило для таких задач: в прямом конусе тангенс угла между высотой и образующей равен радиусу, делённому на высоту. Это помогает быстро решать задания ЕГЭ База без лишних вычислений.

Типичная ошибка — перепутать отношение и написать h/r вместо r/h. Ещё одна ошибка — брать синус или косинус вместо тангенса. Чтобы себя проверить, вспомните: если высота и радиус — катеты, то тангенс угла при вершине между высотой и образующей всегда выражается как радиус / высота.

Используем формулу объёма конуса:

V = (1/3)·π·r²·h.

Здесь важно помнить главное правило: радиус входит в формулу в квадрате, а высота — первой степенью. Поэтому при изменении размеров нужно не складывать коэффициенты, а перемножать их с учётом степени.

В условии радиус увеличили в 2 раза. Значит, вклад радиуса в объём изменится в 2² = 4 раза. Высоту уменьшили в 3 раза, значит, объём ещё умножится на 1/3.

Теперь перемножаем коэффициенты:

4 · 1/3 = 4/3.

Значит, новый объём стал в 4/3 раза больше исходного.

Ответ: объём увеличился в 4/3 раза.

Как удобно проверять себя на ЕГЭ:

• сначала выписывайте формулу объёма;
• смотрите, какие величины стоят в квадрате, а какие — без степени;
• коэффициенты изменения всегда перемножаются, а не складываются;
• если радиус увеличивают, эффект на объём сильнее, потому что он возводится в квадрат.

Типичная ошибка — написать 2 · 1/3 = 2/3. Это неверно, потому что забыли про квадрат радиуса. В задачах на конусы и другие тела вращения именно эта ошибка встречается очень часто, поэтому всегда проверяйте степень у радиуса.

Здесь важно помнить главную идею: если два конуса подобны, то их объёмы относятся как куб коэффициента подобия. В задаче жидкость заполняет конус не полностью, а до некоторой высоты, значит заполненная часть — это тоже конус, только меньший и подобный исходному.

1) Найдём коэффициент подобия. По условию жидкость заполнила 2/3 высоты конуса. Значит, высота маленького конуса равна 2/3 высоты большого. Следовательно, все линейные размеры уменьшились в 2/3 раза.

2) Объём меняется по кубу коэффициента подобия:

V_мал = V_полн · (2/3)³.

Подставим число:

V_мал = 540 · 8/27.

Сократим: 540 : 27 = 20, значит

V_мал = 20 · 8 = 160.

Ответ: 160 см³.

Почему нельзя просто взять 2/3 от 540? Это частая ошибка. Высота уменьшается в 2/3 раза, но объём не уменьшается линейно, потому что тело трёхмерное. Для подобных тел объём зависит от куба линейного масштаба. Именно поэтому нужно возводить дробь в куб.

Полезная проверка для ЕГЭ: если доля высоты меньше 1, то объём должен стать ещё меньше. Например, при 2/3 высоты объём должен быть заметно меньше 540, и 160 выглядит разумно.

Рассмотрим, какие элементы конуса участвуют в задаче. У нас есть высота конуса, радиус основания и образующая. Если провести сечение через ось конуса, то в этом сечении получится прямоугольный треугольник. Его катеты — это высота конуса и радиус основания, а гипотенуза — образующая.

Нужно найти тангенс угла между высотой и образующей. Этот угол находится в том же треугольнике. Для него:

tg угла = противолежащий катет / прилежащий катет.

Если взять угол между высотой и образующей, то противолежащим катетом к этому углу будет радиус основания, а прилежащим — высота. Значит,

tg = r / h = 6 / 8 = 3 / 4.

Итак, правильный ответ: 3/4.

Как не ошибиться на ЕГЭ База: часто путают, какой катет брать в числитель и знаменатель. Самый надежный способ — мысленно нарисовать треугольник в осевом сечении конуса. Тогда видно, что высота и радиус — это катеты, а образующая — гипотенуза. Для тангенса нужен именно отношение катетов, а не гипотенуза. Если перепутать и взять 8/6, получится обратная дробь — это типичная ошибка.

Здесь важно вспомнить главное свойство подобных тел: если все линейные размеры уменьшаются в k раз, то объём уменьшается в k³ раз.

Почему это подходит именно для конуса с жидкостью? Когда жидкость заполняет часть конуса до некоторого уровня, верхняя часть и весь конус имеют одинаковую форму, то есть маленький конус внутри большого подобен большому конусу. Значит, можно сравнивать не сами объёмы “на глаз”, а через долю высоты.

По условию жидкость заполнила 3/4 высоты конуса от вершины. Это значит, что линейный коэффициент подобия для заполненной части равен 3/4. Тогда объём заполненной части равен:

V = 960 · (3/4)³.

Вычислим:

(3/4)³ = 27/64,

значит

V = 960 · 27/64 = 15 · 27 = 405.

Ответ: 405 см³.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте долю высоты с долей объёма;
• объём меняется в кубе, а не линейно;
• если заполнение идёт от вершины, то коэффициент подобия берут именно как долю высоты заполненной части.

Полезная проверка: если заполнено примерно три четверти высоты, объём должен быть заметно меньше трёх четвертей полного объёма, потому что конус сужается к вершине. Получившийся ответ 405 действительно меньше 960 · 3/4 = 720, значит результат правдоподобен.

Главная идея здесь — подобие. Когда жидкость в коническом сосуде занимает часть высоты, форма заполненной части тоже является конусом, подобным всему сосуду. Это значит, что все линейные размеры уменьшаются в одинаковое число раз, а объём меняется не линейно, а в кубе этого коэффициента.

В задаче жидкость заполнила 2/3 высоты конуса. Значит, коэффициент подобия заполненного конуса к полному конусу равен 2/3.

Тогда объём жидкости равен:

V = 960 · (2/3)³

Считаем куб дроби:

(2/3)³ = 8/27

Теперь умножаем:

960 · 8/27 = 2560/9

Получаем:

2560/9 см³

Это и есть объём жидкости.

Правильный ответ: 2560/9 см³.

Почему нельзя умножать просто на 2/3? Потому что 2/3 — это доля высоты, а объём у подобных тел зависит от куба линейного масштаба. Это частая ошибка на ЕГЭ База: ученик видит “заполнили две трети” и сразу берёт две трети от объёма. Для конуса так делать нельзя.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• если речь о подобном конусе, ищите коэффициент подобия по высоте;
• объём всегда берите как куб этого коэффициента;
• если дробь меньше 1, объём должен уменьшиться сильнее, чем сама дробь.

В этой задаче заполнено 2/3 высоты, значит объём должен быть меньше 2/3 от полного. У нас получилось 2560/9 ≈ 284,4 см³, что действительно намного меньше 960 см³ — это разумно.

Используем формулу объёма конуса:

V = (1/3) · S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота.

В задаче даны:

• S_осн = 75 см²,
• h = 12 см.

Сначала найдём объём в кубических сантиметрах:

V = (1/3) · 75 · 12 = 25 · 12 = 300 см³.

Теперь переведём кубические сантиметры в литры. Надо помнить важное соотношение:

1 л = 1000 см³.

Значит,

300 см³ = 300/1000 л = 0,3 л.

Итак, правильный ответ: 0,3.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: сначала всегда проверьте, в каких единицах нужно записать ответ. Если спрашивают литры, а площадь дана в см² и высота в см, то объём сначала получается в см³, а потом переводится в литры. Частая ошибка — забыть деление на 3 в формуле объёма конуса. Ещё одна типичная ошибка — перепутать перевод: 1000 см³ — это 1 л, а не 100 см³. Поэтому удобно делать так: сначала считать объём в см³, потом делить на 1000.

Рассмотрим осевое сечение прямого кругового конуса. Если провести плоскость через ось конуса, то в сечении получится равнобедренный треугольник. Его боковые стороны — это образующие конуса, а основание этого треугольника равно диаметру основания конуса.

Для нахождения образующей нам удобно взять половину осевого сечения. Тогда получается прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет — радиус основания r = 6 см;
• второй катет — высота конуса h = 8 см;
• гипотенуза — образующая l.

Значит, можно применить теорему Пифагора:

l² = r² + h²

Подставим числа:

l² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

Тогда

l = √100 = 10 см.

Ответ: 10.

Полезно помнить: в задачах на конус очень часто путают высоту и образующую. Высота идёт внутри конуса и перпендикулярна основанию, а образующая — это наклонный отрезок от вершины к окружности основания. Если конус прямой, то именно в осевом сечении всегда можно быстро увидеть прямоугольный треугольник и решить задачу по теореме Пифагора.

Как себя проверить на экзамене: образующая должна быть больше каждого из катетов. Здесь 10 больше и 6, и 8 — значит, ответ геометрически разумен.