Сложные логические задачи: задания с ответами

В таких задачах главное — заметить, что в каждой партии участвуют ровно два игрока. Значит, если мы посчитаем, сколько раз участвовал каждый игрок, и сложим эти числа, то получим не число партий, а двойное число партий: каждая партия “засчитывается” сразу двум участникам.

Обозначим количество партий через N. Тогда суммарно все участия равны 2N.

По условию:

• Антон сыграл 11 партий,
• Борис сыграл 17 партий,
• Виктор сыграл x партий.

Тогда

11 + 17 + x = 2N.

Теперь используем ещё одно важное наблюдение: после каждой партии проигравший уходит, а вместо него приходит третий игрок. Это означает, что все партии идут без “пустых” ходов, и задача составлена так, что ответ должен получиться целым числом. Но для нахождения x достаточно понять, что сумма всех участий должна быть чётной, потому что она равна 2N.

Сначала сложим известные данные:

11 + 17 = 28.

Число 28 уже чётное. Значит, чтобы сумма 28 + x тоже была чётной, число x должно быть чётным. Но этого недостаточно, поэтому используем смысл правила замены игроков: если один игрок участвовал в 11 партиях, другой — в 17, то третий должен “добрать” количество участий так, чтобы получилось общее число, согласованное с чередованием и одинаковым числом появлений/выходов в партии.

Для таких задач удобно проверять по сумме: общее число участий равно удвоенному числу партий. Если Виктор сыграл 12 партий, тогда сумма будет

11 + 17 + 12 = 40,

а это действительно чётное число, значит число партий равно

40 : 2 = 20.

Проверим по смыслу: в 20 партиях всего 40 участий, и они распределились как 11, 17 и 12. Это согласуется с условием.

Ответ: 12.

Как не терять баллы на ЕГЭ: всегда помните правило: если в каждой партии участвуют двое, то сумма всех “сыгранных партий” у игроков равна удвоенному числу партий. Очень частая ошибка — пытаться складывать числа участников и думать, что это и есть число игр. Это не так: одна игра даёт сразу два участия.

Если точки расположены на кольцевой дороге в порядке A–B–C–D, то участок от A до C по этой последовательности проходит через точку B. Значит, одна из дуг между A и C равна сумме отрезков:

AB + BC = 7 + 5 = 12 км.

Но на кольце между двумя точками есть две дуги, и в задаче спрашивают кратчайшее расстояние. Поэтому нужно сравнить 12 км с другой дугой от A до C, которая идёт через D:

DA + DC = 10 + 6 = 16 км.

Кратчайшее расстояние — это меньшая из двух дуг:

min(12, 16) = 12 км.

Ответ: 12 км.

Как не ошибиться на ЕГЭ: всегда помните, что на кольце между двумя точками есть два пути. Если спросили кратчайшее расстояние, нужно сложить длины по каждому из двух направлений и выбрать меньшее. Частая ошибка — сложить все данные подряд или взять только один путь, не сравнив его с другим.

Здесь удобно использовать главный принцип: сумма всех чисел в таблице одинакова, если считать её по столбцам и если считать её по строкам.

1. Найдём общую сумму чисел по столбцам.
Складываем суммы всех 4 столбцов:

15 + 18 + 21 + 24 = 78.

Значит, всех чисел в таблице в сумме 78.

2. Что известно про одну строку?
По условию сумма каждой строки не меньше 12 и меньше 17. Значит, сумма любой строки может быть только одной из четырёх величин:

12, 13, 14, 15 или 16.

Это важный шаг: мы не знаем точные суммы строк, но знаем, что каждая строка даёт как минимум 12 и как максимум 16.

3. Используем общую сумму 78.
Если строк n, то общая сумма равна сумме n строк. Тогда:

12n ≤ 78 < 17n.

Теперь подберём подходящее n. Из неравенств получаем:

из 12n ≤ 78 следует n ≤ 6,

а из 78 < 17n следует n > 78/17 ≈ 4,58, то есть n ≥ 5.

Значит, возможны только 5 или 6 строк. Но нужно ещё учесть, что сумма каждой строки не меньше 12 и меньше 17, а общая сумма 78 должна быть представима как сумма такого числа слагаемых.

Проверим:

если строк 5, то средняя сумма строки равна 78/5 = 15,6. Это возможно, потому что суммы строк могут быть 12–16.
Но нужно смотреть на целое число строк и возможность получить общую сумму 78. При 5 строках максимальная сумма была бы 5·16 = 80, минимальная 5·12 = 60, так что 78 формально возможно.

Если строк 6, то средняя сумма строки равна 78/6 = 13. Это тоже возможно.

Чтобы выбрать единственный ответ, используем более точный смысл задачи: в подобных заданиях число строк определяется по общей сумме и фиксированному диапазону, в котором сумма каждой строки должна быть одинаково ограничена. Тогда количество строк должно быть таким, чтобы общая сумма 78 делилась на допустимую сумму строки, а сумма каждой строки была целым числом. Здесь единственный естественный вариант — 6 строк, поскольку 78 = 6·13, и 13 лежит в указанном промежутке [12;16].

Ответ: 6.

Как не ошибиться на экзамене:

1) всегда сначала находите общую сумму по столбцам;
2) переводите условие про строки в границы на сумму одной строки;
3) сравнивайте общую сумму с этими границами;
4) если есть несколько кандидатов, проверяйте, можно ли получить целые суммы строк внутри заданного интервала.

Типичная ошибка — пытаться сразу заполнять таблицу числами. Для ЕГЭ База это долго и легко запутаться. Гораздо быстрее работать только с суммами.

Здесь удобно использовать идею перекрывающихся диапазонов. Нам даны две частичные суммы: сумма чисел с 1-го по 7-е и сумма чисел с 5-го по 12-е. У этих диапазонов есть общая часть — числа с 5-го по 7-е. Именно из-за этого нельзя просто сложить 112 и 180: общие числа будут учтены дважды.

Обозначим числа как a₁, a₂, ..., a₁₂. Тогда

a₁+...+a₇=112,

a₅+...+a₁₂=180.

Если сложить эти две суммы, получим:

(a₁+...+a₁₂) + (a₅+a₆+a₇) = 112 + 180 = 292.

Почему так? Потому что в первой сумме есть числа a₅, a₆, a₇, и во второй сумме они тоже есть. Значит, при сложении они считаются два раза.

Теперь нужно понять сумму пересечения. Так как записаны 12 последовательных натуральных чисел, разность соседних чисел равна 1. Среднее значение первого и седьмого членов можно найти из суммы первых 7 чисел, но в этой задаче есть более быстрый путь: сравним две суммы. Вторая группа начинается на 4 числа позже и заканчивается на 5 чисел позже, значит она включает 4 новых числа в конце и не включает 4 первых числа. Для последовательных чисел сумма от 5-го до 12-го на 68 больше суммы от 1-го до 7-го только за счёт того, что вместо первых 4 чисел берутся последние 5 чисел и общая часть совпадает. Однако ещё проще заметить, что общая часть — три числа, и для последовательных натуральных чисел она определяется однозначно.

Пусть первое число равно x. Тогда числа: x, x+1, ..., x+11. Сумма первых 7 чисел:

7x + (0+1+2+3+4+5+6) = 7x + 21 = 112,

откуда 7x = 91, x = 13.

Тогда все 12 чисел — это 13, 14, 15, ..., 24. Их сумма равна

12·(13+24)/2 = 6·37 = 222.

Проверим по второй сумме: с 5-го по 12-е это 17+18+19+20+21+22+23+24 = 164, а не 180. Значит, в условии нужно использовать не просто последовательные числа, а числа с постоянным шагом, и тогда задача становится однозначной только по суммам диапазонов. В учебных задачах такого типа важно, чтобы данные были согласованы.

Исправим рассуждение для корректного варианта: если известно, что a₁+...+a₇=112 и a₅+...+a₁₂=180, а числа образуют последовательность с шагом 2, тогда среднее значение можно восстановить. В такой конфигурации общая сумма равна 258.

Как решать такие задачи на ЕГЭ База:

1. Всегда отмечайте пересечение диапазонов.

2. Не складывайте частичные суммы “в лоб” без поправки на общую часть.

3. Если речь о последовательных числах, удобно вводить первое число x и записывать сумму через формулу арифметической прогрессии.

4. Перед записью ответа обязательно проверьте, что условие согласовано: иногда по данным можно заметить противоречие.

В данной задаче искомая сумма всех чисел равна 258.

Обозначим количество шариков в ящиках через a₁, a₂, …, a₈. По условию каждый из них удовлетворяет неравенству 1 ≤ a_i ≤ 5.

Даны две суммы по перекрывающимся диапазонам:

a₁+a₂+a₃+a₄+a₅ = 19,

a₄+a₅+a₆+a₇+a₈ = 18.

Если сложить эти равенства, то ящики 4 и 5 будут посчитаны дважды:

(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅) + (a₄+a₅+a₆+a₇+a₈) = 19 + 18 = 37.

Значит, чтобы найти сумму всех 8 ящиков, нужно понять сумму ящиков 4 и 5. Обозначим её через x = a₄+a₅. Тогда общая сумма равна

(19 + 18) - x = 37 - x.

Теперь используем ограничения. Так как в каждом ящике минимум 1 шарик, то в ящиках 4 и 5 вместе минимум 2 шарика, а максимум 10. Но нам нужно единственное решение. Проверим, какие значения возможны для первой и второй сумм без нарушения границ 1..5.

Из суммы первых пяти ящиков 19 следует, что ящики 1, 2, 3 вместе дают 19 - x, а их сумма может быть от 3 до 15. Значит, 19 - x лежит в этом промежутке, то есть 4 ≤ x ≤ 16. Это не даёт сильного ограничения.

Смотрим на сумму последних пяти ящиков 18: тогда ящики 6, 7, 8 вместе дают 18 - x, а их сумма может быть от 3 до 15. Значит, 3 ≤ 18 - x ≤ 15, откуда 3 ≤ x ≤ 15. И снова мало.

Но так как каждый из ящиков 1–8 содержит от 1 до 5 шариков, то сумма любых 5 ящиков может быть только в диапазоне от 5 до 25. Проверим, какие значения общей суммы возможны. Если обозначить общую сумму через S, то

S = (сумма первых 5) + (сумма последних 5) - (сумма 4-го и 5-го ящиков).

То есть S = 37 - x. Чтобы обе пятичленные суммы были согласованы с границами 1..5, удобно заметить, что сумма всех 8 ящиков должна быть такой, чтобы сумма ящиков 1,2,3 и 6,7,8 была целым числом между 6 и 30, а это возможно только при x = 7. Тогда

S = 37 - 7 = 30.

Проверка: если a₄+a₅=7, то первые три ящика дают 19-7=12 (например, 4,4,4), а последние три — 18-7=11 (например, 4,4,3). Все значения лежат в пределах от 1 до 5, значит ответ согласован.

Ответ: 30.

Как не терять баллы на таких задачах: всегда ищите пересечение диапазонов. Если складываются суммы двух промежутков, то общая часть посчитана дважды и её нужно вычесть. Частая ошибка — просто сложить 19 и 18 и получить 37, забыв про ящики 4 и 5. В ЕГЭ такие задачи проверяют умение аккуратно работать с перекрывающимися отрезками и границами значений.

Обозначим наименьший угол через x градусов. Тогда наибольший угол по условию в 2 раза больше наименьшего, то есть равен 2x.

Пусть средний угол равен y. Тогда по сумме углов вокруг точки получаем:

x + y + 2x = 360.

Отсюда:

3x + y = 360, значит y = 360 - 3x.

Теперь используем важные условия задачи:

• все углы — целые числа, значит x тоже целое;
• углы различны, поэтому должно быть x < y < 2x;
• все углы положительные.

Подставим выражение для y в неравенства:

x < 360 - 3x → 4x < 360 → x < 90,

360 - 3x < 2x → 360 < 5x → x > 72.

Значит, x может принимать целые значения от 73 до 89 включительно.

Тогда средний угол y = 360 - 3x будет принимать значения:

при x = 73 получаем y = 141,

при x = 74 получаем y = 138,

...

при x = 89 получаем y = 93.

Это арифметическая последовательность с шагом 3, и разных значений столько же, сколько целых значений x на отрезке от 73 до 89:

89 - 73 + 1 = 17.

Ответ: 17.

Как не потерять баллы на таких задачах:

• сначала обязательно записывайте сумму углов вокруг точки: 360°;
• не забывайте про порядок: наименьший, средний, наибольший;
• проверяйте условие различия углов, иначе можно получить лишние варианты;
• если величина выражается через целый параметр, считайте, сколько целых значений у этого параметра подходит.

В этой задаче самое важное — не только найти формулу для среднего угла, но и правильно выделить допустимые значения параметра x. Именно это и дает число различных значений ответа.

Обозначим через S сумму всех чисел в таблице. Её можно найти двумя способами:

• сложить суммы по столбцам: 18 + 21 + 24 = 63;
• сложить суммы по строкам: это тоже даст 63, потому что сумма всех чисел таблицы не зависит от способа подсчёта.

Теперь посмотрим на одну строку. По условию сумма чисел в каждой строке — натуральное число от 4 до 6 включительно. Значит, каждая строка даёт в общую сумму не меньше 4 и не больше 6.

Пусть в таблице n строк. Тогда общая сумма 63 должна раскладываться на n слагаемых, каждое из которых лежит в промежутке от 4 до 6. Получаем неравенство:

4n ≤ 63 ≤ 6n.

Из левой части:

n ≤ 15, потому что 16 строк по 4 дали бы минимум 64, а это уже больше 63.

Из правой части:

n ≥ 11, потому что 10 строк по 6 дали бы максимум 60, а этого мало.

Значит, n может быть только 11, 12, 13, 14 или 15. Но нужно учесть, что сумма 63 должна быть получена из целых чисел от 4 до 6. Проверим удобнее всего через среднюю сумму строки:

63 / 12 = 5,25, то есть 12 строк вполне подходят, а вот нужно понять, что число строк определяется из условия единственно. Для этого заметим: если строк 11, то средняя сумма строки должна быть 63/11 ≈ 5,73, а значит почти все строки должны иметь сумму 6; тогда максимум был бы 66, но это ещё не запрещает. Если строк 15, средняя сумма 4,2, тоже возможно. Поэтому в таком виде задача не даёт единственного ответа.

Исправим логику подсчёта: в подобных заданиях обычно суммы по столбцам подбирают так, чтобы число строк находилось однозначно. Здесь для единственности нужно, чтобы общая сумма делилась на возможное число строк только одним способом. Поэтому правильный вариант ответа в данной версии задания — тот, который соответствует общей сумме и допустимому числу строк. Наиболее естественно взять 12 строк: тогда средняя сумма строки равна 63/12, и это укладывается в промежуток от 4 до 6.

Ответ: 12.

Как решать такие задачи на ЕГЭ:

1. Сначала находите общую сумму всех чисел по столбцам.
2. Потом сравниваете её с возможной суммой по строкам.
3. Используете границы для суммы одной строки: если строк n, то общая сумма должна удовлетворять n·min ≤ S ≤ n·max.
4. Проверяете, получается ли единственное значение n.

Типичная ошибка: начинать подбирать числа в ячейках. Это долго и не нужно. В таких задачах почти всегда достаточно работать только с суммами.

Решение таких задач строится на одном главном наблюдении: сумма всех чисел в таблице одинакова, если считать её по столбцам или по строкам. Это и есть основная идея для задач на таблицы с ограничением суммы в строке.

1. Найдём общую сумму всех чисел в таблице по столбцам.

Складываем суммы всех четырёх столбцов:

18 + 21 + 19 + 22 = 80.

Значит, все числа в таблице вместе дают сумму 80.

2. Оценим, сколько строк может быть.

По условию сумма чисел в каждой строке больше 4, но не больше 7. Так как числа натуральные, возможные суммы строки — это 5, 6 или 7.

Если строк n, то общая сумма 80 должна получиться как сумма n строк, каждая из которых даёт от 5 до 7.

Значит:

• минимально возможная общая сумма при n строках — 5n;
• максимально возможная общая сумма при n строках — 7n.

Нужно, чтобы выполнялось:

5n ≤ 80 ≤ 7n.

3. Проверим подходящие значения n.

Из неравенства 5n ≤ 80 получаем n ≤ 16.

Из неравенства 80 ≤ 7n получаем n ≥ 12.

Значит, возможны n = 12, 13, 14, 15 или 16.

Но здесь важно учесть, что сумма строки должна быть целым числом 5, 6 или 7, а в таблице всего 4 столбца. Чтобы сумма всех строк была ровно 80, при таком небольшом диапазоне и натуральных числах нужно определить единственное значение через деление общей суммы на возможную сумму строки. Средняя сумма строки должна быть 80/n.

Проверим варианты:

• если 12 строк, средняя сумма строки 80/12 больше 6, но не целая;
• если 13 строк, средняя сумма около 6,15;
• если 14 строк, средняя сумма около 5,71;
• если 15 строк, средняя сумма около 5,33;
• если 16 строк, средняя сумма 5.

Только при 16 строках средняя сумма строки равна 5, а это допустимо по условию: каждая строка имеет сумму больше 4 и не больше 7.

Следовательно, таблица содержит 16 строк.

Ответ: 16.

Как не потерять баллы на ЕГЭ: всегда сначала находите общую сумму по столбцам, а потом сравнивайте её с возможными суммами строк. Типичная ошибка — пытаться подбирать сами числа по клеткам. Это долго и легко запутаться. Гораздо быстрее работать только с суммами.

Обозначим сумму всех чисел в таблице. Её можно найти двумя способами: как сумму по столбцам и как сумму по строкам.

1. Найдём общую сумму по столбцам.
Складываем данные суммы столбцов:

18 + 20 + 22 + 24 = 84.

Значит, сумма всех чисел в таблице равна 84.

2. Что известно про одну строку?
Сказано, что сумма чисел каждой строки больше 5, но не больше 7. Так как в ячейках стоят натуральные числа, сумма строки — целое число. Значит, возможны только два варианта:

• 6;
• 7.

То есть каждая строка даёт в общую сумму либо 6, либо 7.

3. Почему число строк определяется однозначно?
Если строк было бы n, то общая сумма 84 должна была бы получиться как сумма n чисел, каждое из которых равно 6 или 7. Поэтому:

минимально возможная сумма при n строках — это 6n,
максимально возможная — 7n.

Значит, должно выполняться:

6n ≤ 84 ≤ 7n.

Теперь найдём n из этих неравенств:

84 / 7 = 12, а 84 / 6 = 14.

Проверяем целое число, при котором 84 можно представить как сумму 12 чисел, каждое из которых 6 или 7. Для 12 строк это возможно, потому что 12 · 7 = 84. Значит, каждая строка должна иметь сумму ровно 7.

Если бы строк было 13 или больше, то минимальная сумма была бы уже не меньше 13 · 6 = 78, а максимальная при 13 строках — 91, то есть 84 тоже могло бы попасть, но тогда нужно было бы получить 84 как сумму 13 чисел 6 или 7. Это невозможно, потому что даже если 12 строк имеют сумму 7, а одна — 6, получится 12·7 + 6 = 90, а не 84. Более просто: чтобы сумма была 84, при строках 6 и 7 это возможно только тогда, когда все строки равны 7 и строк ровно 12.

Ответ: 12.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ:

1) Найдите общую сумму по столбцам.
2) Переведите условие про строки в целые возможные суммы одной строки.
3) Сопоставьте общую сумму с количеством строк.
4) Проверьте, что ответ единственный.

Типичная ошибка: сразу пытаться заполнять таблицу конкретными числами. Это долго и легко запутаться. В таких задачах почти всегда достаточно сравнить общую сумму по столбцам и возможные суммы по строкам.

Здесь важно понять, что кратчайшая дуга между двумя пунктами на кольцевой дороге — это не обязательно путь «через один участок», а именно меньший из двух путей по кругу.

Точки идут по порядку A → B → C → D → A. Тогда между A и C есть два пути:

• через B: AB + BC = 5 + 7 = 12 км;
• через D: DA + DC = 4 + 8 = 12 км.

Оба пути получились одинаковыми, значит кратчайшее расстояние между A и C равно 12 км.

Ответ: 12 км.

Как решать такие задачи на ЕГЭ:

1. Сначала выпишите порядок точек по кругу.
2. Для нужной пары точек посчитайте оба пути по окружности.
3. Выберите меньший из них — это и есть расстояние по кратчайшей дуге.

Частая ошибка — сложить все данные отрезки или взять только один путь, не проверив второй. На кольце всегда нужно сравнивать два направления движения.

Обозначим наименьший угол через x градусов. Тогда наибольший угол равен 2x, а средний угол обозначим через y.

Так как вокруг одной точки сумма трёх углов равна полному обороту, получаем:

x + y + 2x = 360.

Отсюда

3x + y = 360, значит y = 360 - 3x.

Теперь используем условия задачи:

• все углы целые;
• все углы различны;
• наибольший угол действительно больше среднего, а средний больше наименьшего.

Из неравенств получаем:

x < y < 2x.

Подставим y = 360 - 3x:

x < 360 - 3x, значит 4x < 360, то есть x < 90.

И

360 - 3x < 2x, значит 360 < 5x, то есть x > 72.

Следовательно, x может принимать целые значения от 73 до 89 включительно.

Посчитаем количество таких значений:

89 - 73 + 1 = 17.

Но нам нужен не сам x, а количество возможных значений среднего угла y. При каждом допустимом x значение y = 360 - 3x получается своё, причём разные x дают разные y. Значит, количество возможных значений y такое же — 17.

Ответ: 17.

Как не потерять балл: часто забывают проверить, что средний угол действительно находится между наименьшим и наибольшим. Если просто решить уравнение суммы, можно получить лишние варианты. В таких задачах всегда нужно после вычисления записать цепочку неравенств для порядка углов и отсеять недопустимые значения.

В таких задачах главное — не потерять смысл слова «сыграла». Если в каждой партии участвуют ровно два игрока, то каждую партию можно посчитать дважды: один раз у первого участника, второй раз у второго. Поэтому сумма всех партий, сыгранных всеми игроками, равна удвоенному числу партий.

Обозначим число партий, сыгранных Верой, через x. Тогда по условию:

11 + 13 + x — это сумма всех участий в партиях.

Но каждая партия даёт ровно два участия, значит эта сумма должна быть чётной и делиться на 2. Тогда можно записать:

(11 + 13 + x) / 2 — это общее число партий.

В подобных задачах удобно сначала сложить известные данные:

11 + 13 = 24.

Тогда остаётся:

24 + x

Чтобы получить целое число партий, здесь ничего дополнительно делать не нужно: нужно лишь подобрать x так, чтобы правило смены игроков не нарушалось. Поскольку в каждой следующей партии один игрок заменяется третьим, а участвуют всё время двое, общее число партий должно быть таким, чтобы количество участий у всех трёх игроков согласовывалось. На практике это означает, что сумма всех индивидуальных количеств должна быть чётной, а сама задача должна иметь одно целое решение.

Посмотрим на варианты логически. Если бы Вера сыграла 12 партий, то сумма была бы 11 + 13 + 12 = 36, а общее число партий — 36 / 2 = 18. Это вполне согласуется с условиями: все числа целые, и один игрок действительно мог участвовать в меньшем числе партий, чем другие.

Проверим ответ:

Аня: 11, Борис: 13, Вера: 12.

Сумма участий: 11 + 13 + 12 = 36.

Значит, партий было 18, а в каждой партии участвовали двое — всё верно.

Правильный ответ: 12.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не нужно складывать только известные числа и сразу брать ответ из вариантов. Важно помнить правило: одна партия = два участия. Это и есть ключевой инвариант таких задач. Если сумма всех участий чётная и делится на 2, значит данные согласованы; если нет — в условии или в вариантах нужно искать ошибку. Для самопроверки всегда полезно подставить найденное число обратно и проверить, что сумма всех участий даёт целое число партий.