Классическое определение вероятности и операции над событиями: задания с ответами

Здесь нужно найти вероятность противоположного события. Событие «деталь без дефекта» является противоположным событию «деталь бракованная».

По классическому определению вероятности:

P(события) = число благоприятных исходов / число всех равновозможных исходов.

Сначала найдём вероятность выбрать бракованную деталь:

P(брак) = 8/50 = 4/25.

Тогда вероятность выбрать деталь без дефекта равна:

P(без дефекта) = 1 - P(брак) = 1 - 4/25 = 21/25.

Это и есть ответ.

Почему так можно делать? Если все детали делятся только на две группы — бракованные и годные, — то вместе они составляют всё множество возможных исходов. Поэтому вероятность «не бракованная» дополняет вероятность «бракованная» до 1.

Типичная ошибка: многие по невнимательности отвечают 8/50, потому что считают вероятность брака, хотя в задаче спрашивают обратное событие. Ещё одна ошибка — забыть сократить дробь или не заметить, что ответ должен быть в виде доли, а не процента.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если спрашивают «не дефектная», «без брака», «исправная», «годная», то почти всегда удобно сначала найти вероятность дефекта и потом вычесть её из 1.

Решаем задачу по классическому определению вероятности. Если все исходы равновозможны, то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = k / n, где k — число благоприятных исходов, n — общее число возможных исходов.

В этой задаче:

• общее число деталей: 180;
• число дефектных деталей: 27.

Событие — «выбранная деталь дефектная». Значит, благоприятных исходов 27, а всего исходов 180.

Тогда

P = 27/180 = 3/20 = 0,15.

Ответ: 0,15.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: сначала всегда находите общее число объектов, потом — сколько из них подходят под условие. После этого делите подходящее число на общее. Очень частая ошибка — перепутать дробь и написать 180/27 вместо 27/180. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что вероятность должна быть не больше 1. В нашем случае 0,15 — это разумный результат, потому что дефектных деталей меньше, чем всех деталей.

Нужно найти вероятность события «оба выбранных карандаша одного цвета». При выборе без возвращения порядок не важен, а все пары карандашей равновозможны. Значит, удобно использовать классическое определение вероятности:

P = число благоприятных исходов / число всех исходов.

Сначала найдём общее число способов выбрать 2 карандаша из 13:

C(13, 2) = 13·12/2 = 78.

Теперь найдём благоприятные случаи. Чтобы карандаши были одного цвета, возможны два варианта:

• выбрать 2 красных: C(8, 2) = 8·7/2 = 28;
• выбрать 2 синих: C(5, 2) = 5·4/2 = 10.

Эти случаи не пересекаются, поэтому их надо сложить:

28 + 10 = 38.

Тогда вероятность равна

P = 38/78 = 19/39 ≈ 0,487.

Если в ответах нужно выбрать вариант, ищите число 0,487 (или очень близкое к нему, если оно округлено до сотых — тогда это 0,49).

Важно не перепутать: многие ученики ошибочно считают только один цвет или забывают, что благоприятных случаев здесь два: «оба красные» и «оба синие». Ещё одна частая ошибка — использовать не сочетания, а перестановки. Для вероятности выбора двух предметов без учёта порядка нужны именно сочетания.

Быстрая проверка себя на ЕГЭ: вероятность всегда должна быть от 0 до 1. Если получилось число больше 1 или сильно не похоже на дробь меньше 1, значит, где-то ошибка в подсчёте.

Здесь используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов.

Обозначим событие: жетон оказался из правой части коробки.

1. Найдём общее число возможных исходов.
Всего в коробке 48 жетонов, значит, при случайном выборе любой из 48 позиций одинаково возможен. Следовательно, всего исходов 48.

2. Найдём число благоприятных исходов.
В левой части 18 жетонов, значит в правой части осталось:

48 − 18 = 30.

Значит, благоприятных исходов 30.

3. Составим дробь вероятности.
P = 30/48 = 5/8.

Ответ: 5/8.

Почему важно именно так рассуждать? В задачах ЕГЭ База часто путают два числа: общее количество объектов и количество объектов в нужной части. Нельзя делить число нужных жетонов на число частей коробки — нужно делить на всё количество равновозможных объектов.

Типичная ошибка: взять 18/48, потому что 18 — это тоже число из условия. Но 18 относится к левой части, а вопрос спрашивает про правую. Поэтому сначала обязательно определяйте, сколько объектов соответствует нужному событию.

Быстрая проверка себя: вероятность события должна быть от 0 до 1. Получив 5/8, мы видим, что ответ разумный: это больше 0 и меньше 1.

Нужно найти вероятность события «оба шара одного цвета». Здесь важно помнить классическое определение вероятности:

P = благоприятные исходы / все равновозможные исходы.

Раз выбор делается без возвращения, то каждый набор из 2 шаров считается одним исходом, и все такие наборы равновозможны. Поэтому удобно считать сочетания.

1) Найдём общее число исходов.
Всего шаров: 7 + 5 = 12.
Выбрать 2 шара из 12 можно C(12, 2) способами:

C(12, 2) = 12 · 11 / 2 = 66.

2) Найдём благоприятные исходы.
Событие «оба шара одного цвета» состоит из двух несовместных случаев:

• оба красные: C(7, 2) = 7 · 6 / 2 = 21;
• оба синие: C(5, 2) = 5 · 4 / 2 = 10.

Так как это разные варианты одного события, их нужно сложить:

21 + 10 = 31.

3) Запишем вероятность:

P = 31 / 66 ≈ 0,4697.

Округляя до сотых, получаем 0,47.

Ответ: 0,47.

Как не потерять баллы: часто ошибаются и считают «одинаковый цвет» как один случай только для красных или только для синих. Нужно не забыть, что благоприятных случаев два, поэтому они складываются. Ещё одна типичная ошибка — использовать произведение вместо сочетаний. Если порядок не важен, то считаем именно сочетаниями.

Это задача на классическое определение вероятности: P = благоприятные исходы / все равновозможные исходы.

Сначала определим все возможные исходы. Преподаватель выбирает одного студента из 18, значит всего есть 18 равновозможных вариантов.

Теперь найдём благоприятные исходы — это случаи, когда выбран отличник. Отличников в группе 5, значит благоприятных исходов тоже 5.

Тогда вероятность равна:

P = 5/18.

Это и есть правильный ответ.

Почему остальные варианты неверны:

• 13/18 — это вероятность выбрать не отличника, то есть противоположное событие.
• 18/5 — неверно, потому что вероятность не может быть больше 1.
• 1/18 — это было бы верно только для одного благоприятного исхода, а здесь их 5.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если речь идёт о выборе одного объекта из группы, вероятность нужного события обычно находится как отношение количества нужных объектов к общему числу объектов. Главное — не путать, что считать благоприятным исходом.

В этой задаче используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Сначала определим общее число исходов. Учитель вызывает одного ученика из 7, причём все ученики равновероятны. Значит, всего возможны 7 равных вариантов.

Теперь найдём число благоприятных исходов для события «вызовут Вику». Подходит только один вариант — вызывают именно Вику. Значит, благоприятный исход один.

Тогда вероятность:

P = 1/7.

Это типичная задача ЕГЭ базового уровня: если выбирают один объект из нескольких одинаково вероятных, то вероятность конкретного объекта всегда равна 1 / (общее число объектов).

Почему не другие ответы?

• Если взять 7, это будет число возможных исходов, а не вероятность.
• Если взять 6/7, это вероятность того, что вызовут не Вику.
• Если взять 1/6, это ошибка в подсчёте общего числа учеников.

Как быстро проверять себя на экзамене:

1. Убедитесь, что все варианты равновозможны.
2. Посчитайте, сколько всего вариантов выбора.
3. Определите, сколько из них подходят по условию.
4. Разделите благоприятные исходы на все исходы.

Ответ: 1/7.

В таких задачах используется классическое определение вероятности: P = m / n, где n — общее число равновероятных исходов, а m — число благоприятных исходов.

Разберём задачу по шагам.

1. Определяем общее число исходов. Всего в коробке 24 карточки, и любая из них может быть выбрана с одинаковой вероятностью. Значит, n = 24.

2. Определяем благоприятные исходы. Нас интересует событие: «карточка синяя». Синих карточек 7, значит, m = 7.

3. Находим вероятность. Подставляем в формулу:

P = 7/24.

Это и есть ответ.

Почему так? Потому что при одном случайном выборе все карточки равновероятны, а вероятность события равна доле подходящих карточек среди всех карточек.

Типичные ошибки:

• путают число благоприятных исходов с общим числом;
• делят 24 на 7 вместо 7 на 24;
• складывают все цвета, но потом забывают, что нужно брать только синие карточки.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: вероятность всегда должна быть от 0 до 1. Дробь 7/24 этому условию соответствует, значит, ответ разумный.

Здесь нужно применить классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов:

P(A) = m / n,

где m — число благоприятных исходов, а n — общее число исходов.

Разберём задачу по шагам.

1. Определяем общее число исходов.
В коробке всего 12 шаров, и любой из них может быть выбран. Значит, общее число равновозможных исходов равно 12.

2. Определяем число благоприятных исходов.
Нас интересует случай, когда шар окажется синим. Синих шаров 4, значит, благоприятных исходов тоже 4.

3. Записываем вероятность.
Тогда

P = 4 / 12 = 1 / 3.

Значит, правильный ответ — 1/3.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не перепутайте общее число шаров и число нужных шаров;
• в задачах на классическую вероятность всегда сначала проверяйте, что все исходы равновозможны;
• если дробь можно сократить, лучше записать ответ в сокращённом виде — так проще и аккуратнее;
• если в вариантах ответа есть дробь и десятичная запись, помните, что 1/3 = 0,3(3).

Быстрая проверка: вероятность всегда должна быть от 0 до 1. Ответ 1/3 этому условию удовлетворяет, значит, он разумный.

Обозначим событие A: «прибор окажется исправным». Тогда искомое событие — это противоположное событие к A: «прибор окажется неисправным».

Для противоположных событий выполняется очень важное правило:

P(не A) = 1 − P(A).

Почему так? Потому что любой случайный выбор обязательно приводит либо к событию A, либо к противоположному событию. Других вариантов нет. Значит, сумма их вероятностей равна 1.

Подставим число:

P(неисправен) = 1 − 0,72 = 0,28.

Ответ: 0,28.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не прибавляйте вероятность к 1, а именно вычитайте из 1;
• внимательно читайте формулировку: «неисправный», «не выполняется условие», «противоположное событие» — это всё один и тот же тип задач;
• если вероятность события дана десятичной дробью, ответ тоже обычно записывают десятичной дробью.

Проверка себя: если событие A происходит с вероятностью 0,72, то противоположное событие должно быть менее вероятным, чем 1, и действительно 0,28 — разумный ответ.

Используем классическое определение вероятности: если все исходы равновероятны, то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех исходов.

В задаче всего 18 карточек — значит, всего 18 равновероятных исходов выбора одной карточки.

Нас интересует событие: «выпала карточка с геометрической фигурой». Таких карточек 5, значит число благоприятных исходов равно 5.

Тогда

P = 5/18.

Это и есть правильный ответ.

Почему другие ответы часто бывают неверными?

1. Некоторые делят 18 на 5 и получают обратную дробь 18/5 — это ошибка, потому что вероятность всегда считается как благоприятные / все.

2. Иногда берут просто число благоприятных исходов, то есть 5, забывая разделить на общее число карточек.

3. Бывает, что путают категории и считают, например, карточки с буквами или цифрами вместо нужной группы.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ?

Сразу задайте два вопроса:
— Сколько всего возможных равновероятных исходов?
— Сколько из них подходят под условие?

Если ответ на первый вопрос 18, а на второй 5, то вероятность должна быть дробью меньше 1: 5/18. Это удобно использовать как проверку: вероятность не может быть больше 1.

Здесь нужно найти вероятность одного из перечисленных исходов: шар может быть либо красным, либо зелёным. Это задача на объединение несовместимых событий.

Обозначим события:
• A — вынули красный шар;
• B — вынули зелёный шар.

Эти события несовместимы, потому что один и тот же шар не может быть одновременно и красным, и зелёным. Значит, вероятность того, что произойдёт A или B, находится по правилу сложения:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Всего шаров в ящике:
5 + 3 + 2 = 10.

Тогда:

P(красный) = 5/10,
P(зелёный) = 2/10.

Складываем:

P(красный или зелёный) = 5/10 + 2/10 = 7/10 = 0,7.

Ответ: 0,7.

На ЕГЭ часто делают две типичные ошибки:

1) Перемножают вероятности, хотя здесь нужно складывать. Произведение используют в других типах задач, когда события рассматриваются как последовательные и независимые, а не как «или».

2) Забывают один из нужных исходов. Если в вопросе сказано «красный или зелёный», надо учесть оба варианта.

Проверка себя простая: если события несовместимы и спрашивают «или», значит надо сложить вероятности. Если сумма получается больше 1, значит где-то допущена ошибка; здесь 0,7 — вполне разумный ответ.