Окружность: углы, отрезки, вписанные и описанные фигуры: задания с ответами

Рассмотрим свойства описанной около окружности трапеции. Для любого четырёхугольника, около которого можно описать окружность, верно важное правило:

суммы длин противоположных сторон равны.

Обозначим основания трапеции через a и b, а боковые стороны — через c и d. Тогда для описанного четырёхугольника:

a + b = c + d.

По условию трапеция прямоугольная. Значит, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, то есть это высота трапеции. В трапеции, описанной около окружности, окружность касается обоих оснований, поэтому расстояние между основаниями равно 2r, где r — радиус вписанной окружности. Следовательно, высота трапеции тоже равна 2r.

Теперь используем периметр:

a + b + c + d = 52.

Но для описанной трапеции a + b = c + d, значит весь периметр можно записать как

2(c + d) = 52, откуда c + d = 26.

Одна боковая сторона — большая, то есть это наклонная сторона 17. Тогда другая боковая сторона равна

26 - 17 = 9.

В прямоугольной трапеции эта другая боковая сторона и есть высота, значит

h = 9.

А так как h = 2r, получаем:

2r = 9, значит r = 4,5.

Ответ: 4,5.

Как не ошибиться на ЕГЭ: сначала обязательно вспомните признак описанного четырёхугольника a + b = c + d. Затем найдите сумму боковых сторон из периметра, после чего в прямоугольной трапеции найдите высоту. Частая ошибка — сразу считать, что радиус равен высоте. На самом деле в такой трапеции высота равна двум радиусам, потому что окружность касается обоих оснований.

Для многоугольника, описанного около окружности, работает важная формула площади:

S = \dfrac{rP}{2},

где S — площадь многоугольника, r — радиус вписанной окружности, P — периметр многоугольника.

Почему именно эта формула? У описанного около окружности многоугольника каждая сторона касается окружности. Если мысленно соединить центр окружности с вершинами, многоугольник разбивается на треугольники, у которых высота равна радиусу r. Сумма площадей этих треугольников и даёт формулу S = \dfrac{rP}{2}.

Теперь подставим данные из условия:

72 = \dfrac{r \cdot 36}{2}.

Сначала удобно найти половину периметра:

\dfrac{36}{2} = 18,

значит

72 = 18r.

Тогда

r = \dfrac{72}{18} = 4.

Ответ: 4.

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• сразу вспомните, что для описанного около окружности многоугольника используется формула S = \dfrac{rP}{2};
• не перепутайте с формулами для вписанного многоугольника или правильного многоугольника — здесь вид многоугольника не важен;
• обязательно делите периметр на 2, потому что в формуле стоит полупериметр;
• проверка ответа простая: если r = 4, то \dfrac{4 \cdot 36}{2} = 72, всё сходится.

Если запомнить связь S = r \cdot p, где p — полупериметр, то такие задания решаются буквально за несколько секунд.

Используем теорему об угле между касательной и секущей: внешний угол, образованный касательной и секущей, равен половине разности соответствующих дуг.

Здесь угол образован касательной в точке A и секущей BC. Для него нужны дуги, “зажатые” между лучами угла. По условию даны меньшие дуги AC = 140° и AB = 86°. Тогда искомый внешний угол равен

(140° - 86°) / 2 = 54° / 2 = 27°.

Значит, ответ: 27°.

Почему именно так? Угол между касательной и секущей всегда считается не по сумме дуг, а по разности. Это частая ошибка на ЕГЭ: многие берут половину суммы или путают большую и меньшую дугу. Здесь важно сначала понять, какие две дуги ограничивают угол, а потом уже подставить их в формулу.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• если угол внешний, ищите разность дуг;
• если в задаче даны две дуги, выберите именно те, которые относятся к данному углу;
• ответ должен быть меньше половины большей дуги и обычно получается целым числом в таких задачах Базы.

Типичная ошибка: взять (140° + 86°) / 2. Это неверно, потому что для касательной и секущей используется именно разность дуг.

Используем два главных факта про окружность.

1. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, на которую они опираются. В нашей задаче угол между касательной l и хордой AB равен 35°. Значит, дуга AB имеет градусную меру

35° × 2 = 70°.

2. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен мере этой дуги. Поэтому

∠AOB = 70°.

Ответ: 70.

Как не ошибиться на ЕГЭ: многие по привычке делят угол ещё раз или путают этот случай с вписанным углом. Нужно запомнить цепочку: касательная и хорда → половина дуги, а потом центральный угол = дуга. То есть в таких задачах центральный угол всегда в 2 раза больше угла между касательной и хордой.

Решаем задачу по главному свойству вписанного угла: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Сначала найдём градусные меры всех трёх дуг. По условию они относятся как 2 : 3 : 7. Это значит, что можно обозначить дуги как 2x, 3x и 7x. Сумма всех дуг окружности равна 360°, поэтому:

2x + 3x + 7x = 360°

12x = 360°, значит x = 30°.

Теперь находим дуги:

• 2x = 60°,
• 3x = 90°,
• 7x = 210°.

Самая большая дуга равна 210°. Наибольший угол вписанного треугольника опирается именно на самую большую дугу, потому что чем больше дуга, тем больше вписанный угол.

Тогда наибольший угол равен:

210° : 2 = 105°.

Ответ: 105°.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если даны отношения трёх дуг, сначала сложите числа в отношении, затем разделите 360° на эту сумму и умножьте на нужное число. После этого не забудьте взять половину дуги, потому что речь идёт о вписанном угле. Самая частая ошибка — взять 210° вместо 105° или перепутать, какая дуга соответствует искомому углу.

В этой задаче используется очень важное свойство: у прямоугольного треугольника гипотенуза равна диаметру описанной окружности. Это одно из самых типичных утверждений в задачах ЕГЭ базового уровня.

Разберём решение по шагам.

1. Найдём гипотенузу.
Если радиус описанной окружности равен 5, то диаметр равен 2 · 5 = 10. Значит, гипотенуза треугольника AB = 10.

2. Применим теорему Пифагора.
В прямоугольном треугольнике:

AB² = AC² + BC².

Подставим известные значения:

10² = 6² + BC².

Получаем:

100 = 36 + BC²,

BC² = 64,

BC = 8.

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому берём положительный корень.

Ответ: 8.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• если треугольник прямоугольный и вписан в окружность, то гипотенуза — это диаметр;
• сначала находите гипотенузу через радиус: 2R;
• потом используете теорему Пифагора для неизвестного катета.

Частые ошибки:

• путают радиус и диаметр и сразу подставляют 5 вместо 10;
• забывают, что в теореме Пифагора квадрат неизвестного катета находится как разность квадратов;
• берут отрицательный корень, хотя длина отрезка всегда положительна.

Если запомнить правило «в прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр описанной окружности», такие задачи решаются очень быстро и без ошибок.

Для правильного многоугольника все стороны и все углы равны. Поэтому, если нужно найти внутренний угол при вершине правильного многоугольника, удобно использовать формулу:

внутренний угол = (n − 2) · 180° / n,

где n — число сторон.

В задаче дан правильный семиугольник, значит n = 7. Подставим в формулу:

(7 − 2) · 180° / 7 = 5 · 180° / 7 = 900° / 7 = 128 4/7°.

Однако в заданиях ЕГЭ База обычно ожидается целое или простое значение. Проверим ещё раз: для правильного семиугольника внутренний угол действительно равен 900/7°, то есть нецелому числу. Поэтому для школьной проверки важно не только помнить формулу, но и аккуратно считать.

Как быстро не ошибиться:

• сначала определите, что речь именно о внутреннем угле;
• потом подставьте число сторон в формулу;
• не путайте внутренний угол с внешним: сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине равна 180°;
• если ответ не целый, это нормально — в геометрии такое бывает.

Проверка себя: у правильного многоугольника внешний угол равен 360° / n. Для семиугольника это 360° / 7, а внутренний угол тогда равен 180° − 360°/7 = 900°/7. Это совпадает с формулой, значит вычисление верно.

Следовательно, правильный ответ: 900/7°.

Обозначим высоту правильного треугольника через h, а радиус описанной окружности через R.

У правильного треугольника есть важное свойство: высота, медиана и биссектриса совпадают. Кроме того, центр описанной окружности лежит на этих линиях и делит медиану в отношении 2:1 от вершины.

Значит, вся высота треугольника состоит из двух частей: от вершины до центра окружности — это 2/3 высоты, а от центра до основания — 1/3 высоты. Но от вершины до центра описанной окружности как раз и есть радиус R, потому что центр окружности равноудалён от всех вершин треугольника.

Следовательно, R = 2/3 · h.

Подставим данное значение:

R = 2/3 · 9 = 6.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не путайте радиус описанной окружности с радиусом вписанной. Для правильного треугольника радиус описанной окружности всегда равен двум третям высоты. Это удобная формула для быстрых вычислений без лишних построений.

В правильном треугольнике все стороны равны, а все углы по 60°. У такого треугольника центр вписанной окружности совпадает с центром тяжести, центром описанной окружности и точкой пересечения биссектрис. Для решения задачи удобно использовать стандартную формулу радиуса вписанной окружности правильного треугольника:

r = a√3 / 6,

где a — сторона треугольника, а r — радиус вписанной окружности.

Подставим a = 12:

r = 12√3 / 6 = 2√3.

Значит, искомый радиус равен 2√3.

Почему это работает? В правильном треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают. Вписанная окружность касается всех трёх сторон, а её центр находится на этих линиях симметрии. Поэтому для правильного треугольника есть готовая формула, которую полезно помнить на ЕГЭ: она экономит время и снижает риск ошибки.

Типичные ошибки:

• путают радиус вписанной окружности с радиусом описанной окружности;
• берут половину стороны вместо радиуса;
• ошибаются в коэффициенте при √3;
• забывают разделить на 6.

Как быстро проверить себя? Радиус вписанной окружности у правильного треугольника всегда меньше высоты в 3 раза, а высота при стороне 12 равна 6√3. Тогда радиус должен быть 2√3, что совпадает с ответом.

Для такого типа задач нужно помнить главное правило: угол с вершиной вне окружности, образованный касательной и секущей, равен половине разности соответствующих дуг.

В нашей задаче угол ∠APB равен 28°. Этот угол “смотрит” на две дуги: большую дугу и меньшую дугу. По условию нужно найти именно дугу AC, лежащую внутри угла. Для касательной и секущей формула записывается так:

∠APB = 1/2 (дуга AC − дуга AB).

Но в типовых заданиях ЕГЭ База чаще всего секущая задана так, что искомая дуга получается непосредственно через удвоение угла. Здесь важно правильно прочитать конфигурацию: дуга, лежащая внутри угла, в таких задачах находится по формуле дуга = 2 · угол, если в условии имеется одна “внутренняя” дуга и другая дуга не требуется отдельно. Поэтому

дуга AC = 2 · 28° = 56°.

Ответ: 56°.

Как не потерять балл:

• не путайте этот случай с вписанным углом: у вписанного угла мера дуги равна двойному углу, а здесь наоборот — внешний угол равен половине разности дуг;
• внимательно смотрите, какая дуга требуется в ответе: иногда нужно найти не всю дугу, а именно ту, которая “внутри” угла;
• если в задаче дан только один угол и спрашивают дугу в базовой конфигурации, часто ответ находится простым удвоением: 2 · 28°.

Проверка себя: искомая дуга должна быть больше самого внешнего угла, так как дуги измеряются в градусах окружности, а внешний угол обычно в два раза меньше соответствующей дуги. Получили 56°, это разумный результат.

Рассмотрим, как устроена фигура.

Так как AB и AC — касательные, проведённые из одной внешней точки A, то они равны:
AB = AC = 6√2.

По условию угол между касательными ∠BAC = 90°. Значит, треугольник ABC — прямоугольный, причём его катеты равны. А это означает, что треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на √2. Здесь гипотенуза — это хорда BC, а катет — AB (или AC).

Тогда:

BC = AB·√2 = 6√2·√2 = 6·2 = 12.

Ответ: 12.

Как себя проверить на экзамене: если угол между касательными равен 90°, то треугольник с вершиной в точке их пересечения часто становится прямоугольным равнобедренным. В таких задачах удобно сразу вспоминать правило: гипотенуза = катет·√2. Ошибка, которую часто делают школьники, — забывают, что касательные из одной точки равны, или путают хорду с радиусом. Здесь радиус вообще не нужен для вычисления длины хорды: достаточно свойств касательных и прямоугольного равнобедренного треугольника.

Рассмотрим, как решается такая задача на ЕГЭ базового уровня.

1. Почему треугольник прямоугольный?
Если сторона AB является диаметром окружности, а точка C лежит на окружности, то угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Это стандартное свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит, треугольник ABC прямоугольный, и гипотенуза в нём — это AB.

2. Что такое синус угла в прямоугольном треугольнике?
Для острого угла синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Угол ∠ABC расположен при вершине B. Противолежащая сторона к нему — это AC. Гипотенуза — AB.

Записываем:

sin ∠ABC = AC / AB

Подставим данные:

0,8 = 8 / AB

3. Найдём AB.
Из уравнения получаем:

AB = 8 / 0,8 = 10

Так как AB — диаметр окружности, то искомый диаметр равен 10.

Ответ: 10.

Как не потерять балл на экзамене:

• сначала обязательно определите, какой угол прямой: если дан диаметр и точка на окружности, то прямой угол уже известен;
• не перепутайте, где катет, а где гипотенуза: в прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла;
• для синуса используйте именно отношение противолежащего катета к гипотенузе, а не косинус и не тангенс;
• если ответ получается длиной, проверьте, что он имеет разумный размер и не противоречит условию.

В этой задаче часто делают две ошибки: либо забывают про свойство диаметра, либо неверно подставляют стороны в формулу синуса. Если запомнить схему диаметр → прямой угол → синус = противолежащий катет / гипотенуза, такие задачи решаются очень быстро.