Базовые понятия процентов и доли: задания с ответами

Обозначим обе величины через одну общую «часть». Если величины относятся как 3:5, это значит, что одна величина равна 3k, а другая — 5k, где k — одна и та же неизвестная величина.

По условию разность между ними равна 56. Тогда составляем уравнение:

5k − 3k = 56.

Слева получаем 2k, значит:

2k = 56, откуда k = 28.

Теперь находим большую величину:

5k = 5 · 28 = 140.

Ответ: 140.

Как удобно решать такие задачи на ЕГЭ База:

• сначала записывайте отношение через одну переменную: a k и b k;
• потом используйте разность: (b − a)k;
• после нахождения k подставляйте его в большую часть.

Частая ошибка — делить разность на сумму коэффициентов. Это неверно: сумма нужна, когда находят целое по частям, а здесь дана разность, поэтому работать нужно именно с разностью коэффициентов.

Быстрая самопроверка: если 3k и 5k, то разность — это 2k. Значит, найденное k должно в 2 раза меньше разности. У нас 56 : 2 = 28, всё согласуется.

Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, нужно сравнить часть с целым по формуле:

процент = (часть / целое) × 100%

В нашей задаче частью является число 18, а целым — число 60. Подставляем в формулу:

(18 / 60) × 100% = 0,3 × 100% = 30%

Значит, число 18 составляет 30% от числа 60.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не перепутайте, где часть, а где целое;
• не забудьте умножить результат деления на 100;
• если ответ получается дробным, это нормально — главное правильно вычислить отношение.

Проверка себя: 30% от 60 — это 18, значит ответ верный.

Здесь нужно найти итоговую стоимость с учётом процентной надбавки. Это типовая задача ЕГЭ База на проценты: сначала находим, сколько составляет сам процент от исходной цены, а потом прибавляем его к цене услуги.

1. Найдём 15% от 4800. Процент — это сотая часть числа. Значит, 15% от 4800 можно вычислить так:

4800 · 15 / 100 = 720.

Это и есть стоимость надбавки за срочность.

2. Прибавим надбавку к исходной цене.

4800 + 720 = 5520.

Ответ: 5520 рублей.

Как себя проверять на экзамене: если в условии сказано «надбавка», «доплата», «с увеличением на ...%», нужно не вычитать, а прибавлять процент к исходной сумме. Частая ошибка — сразу умножать цену на 15% и считать, что это итоговая стоимость. На самом деле 15% — это только часть, а потом нужно сложить с основной ценой.

Короткий способ: при увеличении на 15% можно сразу считать 100% + 15% = 115% от исходной цены. Тогда 4800 · 1,15 = 5520. Этот способ удобен, если вы уверенно работаете с десятичными дробями.

Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, нужно использовать основную формулу:

процент = (часть / целое) × 100%.

В этой задаче 18 — это часть, а 72 — целое. Подставим числа в формулу:

(18 / 72) × 100%.

Сначала упростим дробь: 18 / 72 = 1 / 4. Тогда

(1 / 4) × 100% = 25%.

Значит, 18 составляет 25% от 72.

Почему важно не путать числа местами? Если поменять часть и целое местами, получится уже другая величина. Для таких задач всегда сначала задайте себе вопрос: что является целым? Целое — это число, от которого считают процент.

Типичная ошибка — разделить 18 на 72 и забыть умножить на 100. Тогда получится 0,25, а ответ нужен именно в процентах. Другими словами, 0,25 — это доля, а 25% — это уже процентная запись той же самой величины.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: если часть в 4 раза меньше целого, то это 25%; если в 2 раза меньше — 50%; если в 10 раз меньше — 10%. В этой задаче 18 в 4 раза меньше 72, значит ответ действительно 25%.

Пусть два числа равны 3k и 5k, где k — один и тот же коэффициент пропорциональности. Так делают во всех задачах на отношение: если числа относятся как a:b, то их удобно записывать как ak и bk.

По условию разность между ними равна 28. Значит:

5k - 3k = 28.

Сокращаем:

2k = 28, откуда k = 14.

Теперь находим большее число:

5k = 5 · 14 = 70.

Ответ: 70.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: если отношение 3:5, то разность частей равна 5 - 3 = 2 части. Эти 2 части соответствуют 28, значит 1 часть равна 14. Тогда большее число — 5 частей, то есть 70. Это хороший способ не ошибиться и сэкономить время.

Типичная ошибка — делить 28 на сумму чисел отношения 3 + 5. Так делать нельзя, потому что сумма частей нужна, когда ищут целое по сумме, а здесь дана именно разность. В таких задачах всегда смотрите: если известна разность, нужно брать разность коэффициентов в отношении.

В этой задаче нужно найти целое, если известны часть и процент. Это один из самых типичных обратных вопросов на проценты в ЕГЭ База.

Обозначим искомое число через x. По условию 18 — это 30% от числа x. Запишем связь между частью и целым:

часть = целое × процент / 100.

Тогда получаем уравнение:

18 = x × 30 / 100.

Теперь выразим x. Удобно сначала заметить, что 30% = 0,3, значит:

18 = 0,3x.

Чтобы найти целое, нужно разделить известную часть на долю:

x = 18 / 0,3 = 60.

Ответ: 60.

Почему так делаем? Если 18 — это только 30% числа, то всё число должно быть больше 18. Мы фактически спрашиваем: «Сколько раз по 30% помещается в 100%?» Поскольку 100% / 30% = 100/30, то число можно найти умножением части на 100 и делением на процент:

x = 18 × 100 / 30 = 60.

Частая ошибка — умножить 18 на 30%. Это неверно, потому что процент здесь относится не к ответу, а к уже известной части. В задачах такого типа всегда важно помнить: если дана часть и процент, то нужно находить целое делением, а не умножением.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• если процент меньше 100, то целое должно быть больше данной части;
• подставьте ответ обратно: 30% от 60 — это 18, значит решение верное.

Ключевая идея таких задач: если число увеличили на p%, это означает не прибавили сам процент как число, а умножили исходное число на коэффициент 1 + p/100.

Пусть исходное число равно x. Тогда после увеличения на 25% получаем:

x · 1,25 = 360.

Теперь нужно восстановить исходное число. Для этого делим результат на коэффициент увеличения:

x = 360 : 1,25 = 288.

Значит, правильный ответ — 288.

Почему так нельзя делать по-другому? Частая ошибка — вычесть 25% от 360. Но 360 уже является увеличенным значением, поэтому процент нужно считать не от него, а найти исходное число через обратное действие — деление. Ещё одна ошибка — делить 360 на 25. Это неверно, потому что 25% не является коэффициентом увеличения; коэффициент здесь равен 1,25, а не 25.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: после деления можно мысленно проверить: если 288 увеличить на 25%, получится 288 + 72 = 360. Проверка совпала, значит ответ верный.

Это задача на нахождение исходной цены по известной цене после уменьшения.

Если цену уменьшили на 20%, это значит, что после скидки осталось 100% - 20% = 80% от первоначальной цены.

Обозначим первоначальную цену за x. Тогда после скидки цена стала:

0,8x = 3200.

Чтобы найти x, нужно разделить 3200 на 0,8:

x = 3200 : 0,8 = 4000.

Ответ: 4000.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:

• при увеличении цена становится больше исходной, значит коэффициент больше 1;
• при уменьшении цена становится меньше исходной, значит коэффициент меньше 1;
• процент всегда нужно переводить в коэффициент: 20% = 0,2, значит после скидки остается 0,8.

Частая ошибка — вычесть 20% от 3200. Но 3200 уже новая цена, поэтому вычитать процент нужно не от нее, а восстановить исходную стоимость через деление на коэффициент.

Если величина уменьшилась в 4 раза, это значит, что новое значение стало в 4 раза меньше исходного. Другими словами, от первоначального количества осталось только 1/4.

Теперь переведём дробь в проценты:

1/4 = 25%.

Это значит, что после уменьшения осталось 25% от прежнего расхода. Тогда процент уменьшения равен:

100% - 25% = 75%.

Ответ: 75%.

Как удобно решать такие задачи на ЕГЭ База:

• сначала поймите, что означает фраза «в несколько раз»;
• если сказано «уменьшилось в 4 раза», новое значение равно 1/4 от исходного;
• затем найдите, сколько процентов это составляет;
• из 100% вычтите получившееся значение.

Частая ошибка — думать, что «уменьшилось в 4 раза» означает «уменьшилось на 4%» или «стало 4%». Это неверно. Слово «в 4 раза» относится к кратности, а не к процентам.

Ещё один полезный способ проверки: если осталось 25%, значит исчезло 75%. Поэтому ответ должен быть больше 50%, и в данном случае это действительно так.

Нужно найти, какую долю от общего числа составляет указанная часть, а затем перевести эту долю в проценты.

Формула здесь очень простая:

процент = (часть / целое) × 100%

В задаче:

• часть — 18 учеников,
• целое — 30 учеников.

Подставляем в формулу:

(18 / 30) × 100% = 0,6 × 100% = 60%.

Значит, 18 учеников из 30 — это 60% класса.

Полезно помнить: если вы видите задачу вида «сколько процентов составляет часть от целого», то всегда делите часть на целое, а не наоборот. Частая ошибка — перепутать порядок и получить число больше 100% там, где оно не должно быть. Ещё одна типичная ошибка — забыть умножить полученную долю на 100 и оставить ответ в виде 0,6 вместо 60%.

На экзамене удобно делать короткую самопроверку: если часть меньше целого, ответ должен быть меньше 100%. Здесь 18 меньше 30, значит ответ 60% выглядит разумно.

Если известно, что 12 кг — это 30% от всего количества, значит 12 кг — это только часть целого. Нужно найти всё целое, то есть 100%.

Используем основную формулу:

целое = часть × 100 / процент.

Подставим числа:

W = 12 × 100 / 30.

Сначала можно сократить дробь: 100 / 30 = 10 / 3, тогда

W = 12 × 10 / 3 = 40.

Значит, всего привезли 40 кг яблок.

Почему так получается? Если 30% — это 12 кг, то 1% равен 12 / 30 = 0,4 кг, а 100% — это 0,4 × 100 = 40 кг. Оба способа дают один и тот же результат.

Типичная ошибка — умножить 12 на 30. Это неправильно, потому что 30% не означает «умножить на 30», а означает «взять 30 из 100 частей». Ещё одна ошибка — забыть, что найдено не количество процентов, а всё целое.

Проверка себя: 30% от 40 кг действительно равно 12 кг, потому что 40 × 0,3 = 12. Значит, ответ верный.

Нужно найти 15% от 240. В задачах на проценты слово «от» означает, что надо взять часть от целого, то есть выполнить умножение.

Шаг 1. Переведём процент в дробь. 15% = 15/100 = 0,15.

Шаг 2. Найдём часть от общего количества. 240 × 0,15 = 36.

Но внимательно: в этой задаче я специально подобрал числа так, чтобы ответ был целым и легко проверялся. Значит, правильный результат — 36.

Как себя проверять на ЕГЭ База: если процент меньше 100, ответ должен быть меньше общего количества. Здесь 15% от 240 действительно меньше 240, значит ответ 36 выглядит разумно.

Типичная ошибка: некоторые ученики делят 240 на 15 или умножают 240 на 15, не переводя процент в дробь. Это неверно. Процент всегда нужно сначала записать как дробь от 100: 15% = 15/100.

Ответ: 36.