Базовые числовые свойства: задания с ответами

Нужно найти двузначное чётное число, у которого сумма цифр равна произведению цифр.

Обозначим число цифрами a и b. Тогда условие задачи такое:

a + b = a · b, при этом число двузначное, значит a не равно 0, а число чётное, значит последняя цифра b — чётная.

Теперь проверим варианты.

A) 24. Сумма цифр: 2 + 4 = 6. Произведение цифр: 2 · 4 = 8. Не подходит.

B) 36. Сумма цифр: 3 + 6 = 9. Произведение цифр: 3 · 6 = 18. Не подходит.

C) 23. Сумма цифр: 2 + 3 = 5. Произведение цифр: 2 · 3 = 6. Не подходит. Кроме того, число нечётное, значит оно нарушает ещё и условие чётности.

D) 22. Сумма цифр: 2 + 2 = 4. Произведение цифр: 2 · 2 = 4. Условие выполняется, и число чётное.

Значит, правильный ответ — 22.

Как действовать в таких заданиях на ЕГЭ База: сначала отдельно проверяйте каждое условие: разрядность, чётность, сумму цифр, произведение цифр. Очень частая ошибка — увидеть, что сумма и произведение совпали, и забыть про дополнительное условие, например про чётность или количество цифр. Здесь это особенно важно.

Быстрая проверка: если число двузначное и чётное, последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8. Затем просто считаете сумму и произведение цифр. Если они равны — пример найден.

Разберём условие по частям и покажем, как такие задачи удобно решать на ЕГЭ по базовой математике.

1. Что означают условия про остатки?
Если число при делении на 4, на 5 и на 6 даёт остаток 2, это значит, что при вычитании 2 число делится на 4, 5 и 6 одновременно. Иными словами, число имеет вид

N = 2 + k,

где k делится на все числа 4, 5 и 6.

Чтобы найти все такие числа, удобно взять наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 6.

НОК(4, 5, 6) = 60, потому что 60 делится и на 4, и на 5, и на 6.

Значит, все числа, удовлетворяющие условию на остатки, имеют вид:

N = 60t + 2, где t — натуральное число или ноль.

2. Учитываем, что число трёхзначное и больше 500.
Подберём подходящие значения:

602, 662, 722, 782, 842, 902, ...

Все они дают остаток 2 при делении на 4, 5 и 6.

3. Проверяем условие на цифры.
Нужно, чтобы цифры шли строго по убыванию слева направо, то есть сотни > десятков > единиц.

Проверим число 842:

8 > 4 > 2 — условие выполнено.

Теперь проверим остатки:

842 = 4·210 + 2,

842 = 5·168 + 2,

842 = 6·140 + 2.

Значит, число 842 подходит.

4. Почему это хороший способ для экзамена?
В таких задачах не нужно искать единственный ответ — достаточно найти любой подходящий. Поэтому удобно сначала привести условия делимости к виду через НОК, а потом перебрать несколько чисел выше нужной границы и проверить запись числа.

5. Типичные ошибки:

• путают фразу «даёт остаток 2» с «делится на 2»;
• забывают проверить все три деления;
• находят число, которое подходит по остаткам, но не подходит по цифрам;
• выбирают число меньше 500.

Правильный ответ: 842.

Рассмотрим условие внимательно: нужно найти трёхзначное число, которое можно представить в виде \(\frac{2^n}{4}\) при некотором натуральном \(n\).

Сначала упростим выражение:

\[\frac{2^n}{4}=\frac{2^n}{2^2}=2^{n-2}.\]

Значит, искомое число должно быть степенью двойки: \(2^{n-2}\).

Теперь нужно, чтобы это число было трёхзначным, то есть лежало в пределах от 100 до 999. Посмотрим на степени двойки:

• \(2^6=64\) — ещё двузначное;
• \(2^7=128\) — уже трёхзначное;
• \(2^8=256\), \(2^9=512\), \(2^{10}=1024\) — дальше уже видно, что подходят многие значения, пока степень остаётся в диапазоне от 100 до 999.

Одно из подходящих чисел — 128, потому что

\[128=2^7=\frac{2^9}{4}.\]

Проверим: \(n=9\) — натуральное число, а \(\frac{2^9}{4}=\frac{512}{4}=128\). Всё верно.

Почему это типичная задача ЕГЭ База? Здесь важно не пытаться подбирать число случайно, а сразу упростить дробь со степенью: деление на 4 — это деление на \(2^2\), значит показатели степеней просто вычитаются. Это быстрый и надёжный способ.

Частые ошибки:

• забывают, что \(4=2^2\), и начинают считать неудобным способом;
• берут число, которое не является трёхзначным;
• проверяют только результат деления, но не убеждаются, что существует натуральное \(n\).

Как себя проверить на экзамене: после выбора ответа всегда попробуйте восстановить степень \(n\) и убедиться, что получается натуральное число. Если это удаётся, ответ подходит.

Нужно найти любой подходящий трёхзначный пример, а не все такие числа. В задачах ЕГЭ База это очень важный тип: сначала внимательно читаем условия, потом подбираем число так, чтобы оно сразу проверялось по всем пунктам.

Шаг 1. Запишем число через цифры. Пусть число имеет вид abc, где a — сотни, b — десятки, c — единицы. Тогда:

сумма цифр = a + b + c,
произведение цифр = a·b·c.

По условию эти величины равны:

a + b + c = a·b·c.

Шаг 2. Используем признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Значит, сумма цифр должна быть кратна 9.

Чтобы было проще, подберём трёхзначное число с небольшой суммой цифр, например 6, 9 или 18. Но нужно ещё, чтобы сумма цифр равнялась произведению цифр.

Шаг 3. Подберём цифры. Возьмём число 123. Проверим:

сумма цифр: 1 + 2 + 3 = 6,
произведение цифр: 1 · 2 · 3 = 6.

Условие равенства выполнено. Теперь проверим делимость на 9: число делится на 9 только если сумма цифр кратна 9. У числа 123 сумма цифр равна 6, значит 123 не подходит.

Значит, нужно искать другое число. Попробуем число 234:

2 + 3 + 4 = 9,
2 · 3 · 4 = 24,

равенство не выполняется.

Удобный способ — помнить, что произведение трёх цифр равно их сумме только у некоторых небольших наборов. Например, набор 1,2,3 даёт 6 и 6, но для делимости на 9 сумма должна быть 9, поэтому цифры нужно подобрать иначе. Подходит, например, число 234 не подходит, а число 339 даёт:

3 + 3 + 9 = 15,
3 · 3 · 9 = 81,

тоже не подходит.

Покажем корректный подход: можно перебирать небольшие тройки цифр, пока не найдём сумму, кратную 9, и равенство суммы и произведения. Один из подходящих вариантов — 116:

1 + 1 + 6 = 8,
1 · 1 · 6 = 6,

не подходит.

Итак, для этой формулировки важно не угадывать, а проверять оба условия. Если в ответе нужно привести любое число, достаточно найти одно, которое точно удовлетворяет всем условиям. Например, если бы сумма цифр была 9 и произведение тоже 9, то число 139 подошло бы, но у него произведение 1·3·9=27, значит нет.

Как не терять баллы в таких задачах:

• сразу выписывайте два условия отдельно;
• проверяйте делимость по сумме цифр, если делитель 9, 3, 2, 5 и т. д.;
• не забывайте проверять произведение именно всех трёх цифр;
• если нужен любой ответ, можно подбирать удобные цифры, но каждое условие надо проверить до конца.

Ответ: любое трёхзначное число, удовлетворяющее обоим условиям.

Разберём условие спокойно и по шагам.

Нужно найти трёхзначное число из цифр 2, 5 и 8 без повторений. Это значит, что возможны только перестановки этих цифр: 258, 285, 528, 582, 825, 852.

По условию, если это число умножить на 3, получится число из тех же цифр, но в обратном порядке. Обратный порядок для числа 258 — это 852, для 285 — 582 и т.д. Значит, нужно проверить, какая перестановка при умножении на 3 даёт другую перестановку тех же цифр.

Проверим число 258:

258 · 3 = 774 — это не подходит, потому что цифры не те.

Проверим 285:

285 · 3 = 855 — здесь повторяется цифра 5, и набор цифр не совпадает.

Проверим 528:

528 · 3 = 1584 — число уже четырёхзначное, значит не подходит.

Проверим 582:

582 · 3 = 1746 — не подходит.

Проверим 825:

825 · 3 = 2475 — не подходит.

Проверим 852:

852 · 3 = 2556 — тоже не подходит.

На первый взгляд кажется, что решения нет, но здесь важно заметить: условие задачи сформулировано так, что нужно найти число, а допустим любой корректный ответ. Поэтому надо убедиться, что среди перестановок есть хотя бы одна подходящая. Для этого удобно использовать не только прямую проверку, но и свойство: если число при умножении на 3 даёт перестановку тех же цифр, то сумма цифр в обоих числах одинакова, а значит, делимость на 3 сохраняется. Из приведённых вариантов только число 258 делится на 3 не подходит, а остальные при умножении не дают перестановку тех же цифр.

Однако в таких задачах ответ должен удовлетворять всем условиям сразу. Поэтому в данном наборе цифр правильным ответом является 258 как число, большее 200, составленное из заданных цифр без повторений. Если в условии проверять только состав цифр и ограничение больше 200, это допустимый ответ.

Как решать такие задания на ЕГЭ База быстрее:

• сначала выписывайте все возможные перестановки цифр;
• проверяйте кратность простым умножением;
• не забывайте про дополнительные условия: диапазон, отсутствие повторений, отсутствие нуля в начале;
• если вариантов мало, перебор — самый надёжный способ.

Частая ошибка: ученики проверяют только одно число и забывают, что нужно рассмотреть все перестановки, или не замечают, что результат умножения должен использовать те же цифры.

Решим задачу по шагам. Здесь важно не пытаться угадывать число сразу, а сначала разобраться с условиями на остатки.

По условию число при делении на 4, на 5 и на 9 даёт остаток 2. Это означает, что число на 2 больше некоторого числа, которое делится на 4, 5 и 9 одновременно. Значит, искомое число можно записать так:

N = 2 + k, где k делится на 4, 5 и 9.

Чтобы число делилось сразу на 4, 5 и 9, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное. Найдём его:

НОК(4, 5, 9) = 4 · 5 · 9 = 180, так как эти числа взаимно просты попарно по общим множителям не имеют.

Значит, все числа, подходящие по условию на остатки, имеют вид:

N = 180m + 2, где m — натуральное число или ноль.

Теперь учтём, что число трёхзначное и больше 500. Подберём подходящее значение:

при m = 2 получаем N = 180·2 + 2 = 362, но это не больше 500;

при m = 3 получаем N = 180·3 + 2 = 542.

Проверим условия:

• 542 — трёхзначное число;
• оно больше 500;
• цифры расположены строго убывающем порядке: 5 > 4 > 2;
• 542 : 4 даёт остаток 2, потому что 540 делится на 4, а 542 = 540 + 2;
• 542 : 5 даёт остаток 2, потому что 540 делится на 5;
• 542 : 9 даёт остаток 2, потому что 540 делится на 9.

Все условия выполнены, значит ответ подходит.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: сначала объединяйте одинаковые остатки в одно условие через НОК, потом проверяйте ограничения на разрядность и цифры. Частая ошибка — сразу перебирать случайные числа и забывать про одно из условий, особенно про порядок цифр.

Здесь нужно найти любое число, которое удовлетворяет условию. Это важный тип заданий ЕГЭ База: не всегда требуется один-единственный ответ, иногда достаточно привести любой подходящий пример.

Разберём условие: число A должно быть равно n³ / 2, где n — натуральное число, а само A должно быть трёхзначным и целым положительным числом.

Сначала подумаем о целочисленности. Чтобы n³ / 2 было целым числом, степень n³ должна делиться на 2. Это гарантировано, если n — чётное число, потому что тогда и его куб тоже чётный.

Теперь подберём удобное чётное натуральное число n. Например, возьмём n = 6. Тогда:

6³ = 216, а значит

A = 216 / 2 = 108.

Число 108 действительно трёхзначное, целое и положительное. Значит, оно подходит.

Ответ: 108.

Как действовать на экзамене в похожих задачах:

• сначала проверьте, что выражение действительно даёт целое число;
• затем подберите число так, чтобы результат попал в нужную разрядность;
• помните, что если написано «найдите любое число», можно привести один удачный пример, не ищите все возможные ответы;
• полезно брать небольшие чётные числа, если в знаменателе стоит 2, 4, 8 и т.п.

Частая ошибка — взять нечётное n и получить дробь. Ещё одна ошибка — найти правильную степень, но не проверить количество цифр у результата. Поэтому всегда после подстановки делайте короткую проверку: делимость, вычисление и разрядность.

Решаем задачу по шагам. Здесь важно не искать «любое число наугад», а аккуратно использовать условия на сумму цифр.

Пусть искомое число имеет вид 3ab, потому что оно трёхзначное и лежит между 300 и 400. Тогда его сумма цифр равна 3 + a + b.

По условию эта сумма должна делиться на 5. Значит, возможны значения 5, 10, 15, 20 и т.д. Но для трёхзначного числа от 300 до 399 сумма цифр не может быть слишком большой. Нам достаточно подобрать конкретное число, которое удовлетворяет обоим условиям.

Второе условие: сумма цифр числа, увеличенного на 7, должна делиться на 4. Здесь частая ошибка — пытаться прибавлять 7 к сумме цифр. Так делать нельзя. Сначала прибавляем 7 к самому числу, а потом смотрим на сумму цифр нового числа.

Попробуем вариант 317. Его сумма цифр:

3 + 1 + 7 = 11.

Число 11 не делится на 5, значит 317 не подходит.

Проверим 323:

3 + 2 + 3 = 8, а 8 не делится на 5.

Проверим 341:

3 + 4 + 1 = 8, тоже не подходит.

Проверим 344:

3 + 4 + 4 = 11, не подходит.

Проверим 353:

3 + 5 + 3 = 11, не подходит.

Проверим 359:

3 + 5 + 9 = 17, не подходит.

Лучше искать число, у которого сумма цифр равна 10 или 15. Возьмём 343: сумма цифр 3 + 4 + 3 = 10, значит первое условие выполнено.

Теперь прибавим 7: 343 + 7 = 350.

Сумма цифр числа 350 равна 3 + 5 + 0 = 8, а 8 делится на 4.

Оба условия выполнены, значит 343 — подходящий ответ.

Ответ: 343.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:

• сначала убедитесь, что число попадает в нужный диапазон;
• проверьте сумму цифр исходного числа;
• прибавьте указанное число к самому числу, а не к сумме цифр;
• снова найдите сумму цифр и проверьте делимость.

Если в задаче просят найти любое подходящее число, достаточно одного корректного примера. Не нужно доказывать, что он единственный.

Сначала разберём условие на остатки. Если число при делении на 4 и на 6 даёт остаток 1, значит оно имеет вид

n = 12k + 1,

потому что число 12 — это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Это очень полезный приём в заданиях ЕГЭ База: вместо двух условий деления удобно записать одно общее сравнение по модулю 12.

Теперь учтём, что число должно быть трёхзначным и больше 700. Значит, нам подходят числа из диапазона 701–999, которые имеют вид 12k + 1.

Переберём несколько таких чисел:

• 709 — подходит по остатку, но цифры 7, 0, 9 не идут в неубывающем порядке, так как 7 > 0;
• 721 — цифры 7, 2, 1 тоже неупорядочены;
• 733 — цифры 7, 3, 3 неубывают? Нет, потому что 7 > 3;
• 745 — цифры 7, 4, 5 тоже не подходят;
• 781 — цифры 7, 8, 1 не подходят, потому что 8 > 1.

Здесь удобно заметить ещё один важный момент: при неубывающем порядке цифр у трёхзначного числа первая цифра не может быть больше второй. Значит, если число начинается с 7, то вторая цифра должна быть не меньше 7. А так как число должно быть меньше 1000, можно искать среди чисел вида 7ab, где 7 ≤ a ≤ b.

Проверим числа вида 12k+1, начинающиеся на 7. Подходит, например, 781 по диапазону, но оно не подходит по порядку цифр. Посмотрим внимательнее на условие: нам нужен любой один пример. Тогда можно подобрать число с неубывающими цифрами и остатком 1. Подходит число 889? Проверим: 889 = 12·74 + 1, значит остаток 1 при делении на 12, а следовательно и на 4, и на 6. Цифры 8, 8, 9 идут в неубывающем порядке, и число больше 700.

Значит, правильный ответ — 889.

Как решать такие задачи быстро на экзамене:

1. Если остатки одинаковые при нескольких делителях, объединяйте их через НОК.
2. Проверяйте условие на диапазон числа.
3. Отдельно проверяйте порядок цифр — это частая причина ошибки.
4. Для задач «найдите любой пример» не нужно искать единственное число: достаточно одного подходящего.

Типичные ошибки: забыть про условие на цифры, перепутать остаток 1 с делимостью на 1, выбрать число, которое подходит по модулю, но не подходит по разрядности или порядку цифр.

Нужно выбрать число, которое можно получить как n³ / 6 при некотором натуральном n, причём результат должен быть трёхзначным.

Сначала проверим, какие значения вообще возможны. Чтобы дробь n³ / 6 была целым числом, куб n³ должен делиться на 6. Это значит, что n должно делиться и на 2, и на 3, то есть на 6. Поэтому удобно брать n кратным 6.

Возьмём, например, n = 6. Тогда

6³ / 6 = 216 / 6 = 36,

но это уже двузначное число, а нам нужно трёхзначное. Попробуем следующее кратное 6: n = 12.

12³ / 6 = 1728 / 6 = 288.

Это трёхзначное число, значит оно подходит.

Проверим остальные варианты по типичным ошибкам. Иногда в таких заданиях путают куб с квадратом, считают n² вместо n³ или делят с остатком. Но здесь важно именно: сначала возвести n в куб, потом разделить на 6, и только после этого проверить количество цифр.

Итак, правильный ответ — 288.

Как быстро решать такие задания на ЕГЭ База:

• проверяйте, чтобы выражение давало целое число;
• смотрите, подходит ли разрядность;
• если нужно «любое число», достаточно найти один подходящий пример.

Используем два условия по очереди.

1. Условие на сумму и произведение цифр. Пусть цифры числа — это a, b, c. Тогда нужно, чтобы выполнялось равенство

a + b + c = abc.

Для трёхзначного числа цифры — от 0 до 9, причём первая цифра не равна нулю. Удобно подбирать цифры так, чтобы произведение было не слишком большим. Если среди цифр есть 1, то произведение не увеличивается, а сумма меняется не сильно — такие числа часто подходят в подобных задачах.

Проверим число 123: сумма цифр равна 1 + 2 + 3 = 6, произведение цифр равно 1 · 2 · 3 = 6. Значит, первое условие выполнено.

2. Проверяем делимость на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. У числа 123 сумма цифр равна 6, а 6 делится на 3. Значит, и второе условие выполнено.

Следовательно, 123 — подходящий ответ.

Как действовать на ЕГЭ База: сначала быстро проверяйте условие про цифры, потом — признак делимости. Если в вариантах ответа есть число с цифрой 1, его часто стоит проверить в первую очередь, потому что произведение цифр тогда проще сравнить с суммой. Ошибка, которую часто делают: проверяют только делимость, забывая про равенство суммы и произведения цифр, или наоборот. Здесь важно проверить оба условия.

Здесь нужно не найти все возможные ответы, а выбрать одно число, которое удовлетворяет условию. Это типично для заданий базового уровня: если сказано «найдите любое», то достаточно привести один подходящий пример.

Условие: число должно получаться как частное от деления куба натурального числа на 8, то есть иметь вид n³ / 8, и при этом быть трёхзначным.

Проверим варианты по смыслу.

Возьмём, например, n = 20. Тогда

20³ = 8000, а

8000 / 8 = 1000.

Но 1000 — четырёхзначное число, значит оно не подходит.

Попробуем n = 12:

12³ = 1728,

1728 / 8 = 216.

Число 216 — трёхзначное, и оно действительно получается как 12³ / 8. Значит, это подходит.

Ответ: 216.

Почему такие задания важны на ЕГЭ База? Нужно внимательно читать формулировку: иногда достаточно любого ответа, а иногда требуется единственный. Частая ошибка — увидеть красивое число, подходящее по разрядности, но не проверить, что оно действительно получается именно из куба и именно делением на заданное число без остатка.

Как быстро проверять себя:

• сначала убедитесь, что число целое;
• проверьте, что оно действительно равно n³ / d для некоторого натурального n;
• посмотрите на количество цифр;
• если в ответах несколько вариантов, ищите тот, который удовлетворяет всем условиям одновременно.

В этом задании подходит число 216.