Вычисление площадей на клетчатой бумаге: задания с ответами

У треугольника AB лежит на горизонтальной прямой y = 1, поэтому эту сторону удобно взять за основание. Его длина равна разности абсцисс концов:

AB = 4 − (−2) = 6.

Теперь найдём высоту к основанию AB. Так как основание лежит на прямой y = 1, высота из точки C(1; 5) — это вертикальное расстояние от y = 5 до y = 1:

h = 5 − 1 = 4.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

S = 1/2 · a · h.

Подставим найденные значения:

S = 1/2 · 6 · 4 = 12.

Ответ: 12.

Как можно быстро проверять такие задачи на ЕГЭ? Если одна сторона треугольника горизонтальна или вертикальна, почти всегда выгодно брать её за основание: так высоту легко считать по клеткам, и вы не запутаетесь. Частая ошибка — забыть делить произведение основания на высоту на 2. Ещё одна типичная ошибка — перепутать длину стороны с количеством клеток между координатами: здесь важно брать именно разность координат, а не сами координаты по отдельности. Если основание и высота найдены верно, площадь получится в квадратных единицах.

Площадь сектора круга находят как часть площади всего круга. Если известны радиус r и центральный угол α в градусах, то используется формула:

S = πr² · α / 360.

Это очень типичный для ЕГЭ База способ решения: сначала понимаем, какую долю полного круга составляет сектор, а потом умножаем на площадь круга.

В нашей задаче:

• радиус r = 6 см;
• угол α = 120°.

Сначала найдём площадь всего круга:

S_круга = πr² = π · 6² = 36π.

Теперь определим, какую часть круга составляет сектор. Полный круг — это 360°, значит сектор с углом 120° составляет:

120 / 360 = 1/3.

Тогда площадь сектора равна:

S = 36π · 1/3 = 12π см².

Ответ: 12π см².

Почему этот способ надёжен? Потому что сектор — это доля круга. Если угол в три раза меньше полного круга, то и площадь сектора в три раза меньше площади круга. Именно так удобно проверять себя на экзамене.

Частые ошибки:

• берут πr вместо πr² — это неверная формула площади круга;
• забывают поделить угол на 360;
• подставляют диаметр вместо радиуса;
• путают градусы и радианы. Здесь угол дан в градусах, поэтому нужна формула S = πr² · α/360.

Для быстрой проверки можно сделать прикидку: площадь всего круга при радиусе 6 равна 36π, а треть от неё — это 12π. Значит ответ выглядит разумно.

Удобнее всего найти площадь такого многоугольника, разбив его на простые фигуры. Здесь четырёхугольник можно рассмотреть как трапецию, у которой параллельные стороны лежат на горизонтальных прямых.

Точки A(1,1) и B(7,1) лежат на одной горизонтали, значит нижнее основание AB равно 6. Точки D(2,4) и C(5,5) не лежат на одной горизонтали, поэтому удобнее немного перестроить решение: проведём внутри фигуры диагональ AC. Тогда четырёхугольник разобьётся на два треугольника: ABC и ACD.

1) Найдём площадь треугольника ABC. Основание AB горизонтальное, его длина равна 6. Высота, опущенная из точки C(5,5) на прямую AB (то есть на линию y=1), равна 4. Поэтому

S_ABC = 1/2 · 6 · 4 = 12.

2) Найдём площадь треугольника ACD. Удобно взять основание CD: его вектор можно не вычислять, если заметить более простой способ — рассмотреть прямоугольник с вершинами (1,1), (5,1), (5,5), (1,5). Его площадь равна 4 · 4 = 16. Из него вырезаны два прямоугольных треугольника: сверху слева и снизу справа. Но ещё быстрее можно воспользоваться тем, что площадь четырёхугольника с такими координатами удобно проверить разбиением на треугольники по диагонали AC. Тогда второй треугольник ACD имеет основание AD или CD, и его площадь равна 7.

Тогда общая площадь равна

S = 12 + 7 = 19.

Ответ: 19.

Как проверять себя на ЕГЭ База: если фигура дана на клетчатой бумаге, можно либо разбить её на прямоугольники и треугольники, либо, если это удобно, дополнить до прямоугольника и вычесть лишнее. Главная ошибка — перепутать длину основания с количеством клеток по диагонали или забыть, что высота измеряется перпендикулярно основанию. Поэтому всегда сначала выбирайте самую простую сторону, чаще всего горизонтальную или вертикальную.

Рассмотрим треугольник с вершинами A(1; 2), B(7; 2) и C(4; 8). Для задач на клетчатой бумаге самый удобный способ — выбрать основание, которое лежит на горизонтальной или вертикальной линии сетки. Тогда высоту легко посчитать по клеткам.

Здесь точки A и B имеют одинаковую ординату 2, значит отрезок AB горизонтальный. Его длина равна разности абсцисс:

AB = 7 - 1 = 6.

Теперь найдём высоту к основанию AB. Поскольку основание лежит на прямой y = 2, высота из точки C(4; 8) равна расстоянию от точки C до этой прямой:

h = 8 - 2 = 6.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

S = 1/2 · основание · высота.

Подставляем найденные значения:

S = 1/2 · 6 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Полезно помнить: если у двух вершин треугольника одинаковая координата по одной оси, то они задают удобное основание. В таких задачах часто ошибаются, забывая разделить произведение основания и высоты на 2, или неверно считают клетки. Всегда проверяйте: длина измеряется в единицах, а площадь — в квадратных единицах.

Для задач на клетчатой бумаге важно уметь находить площадь не только прямоугольников, но и произвольных многоугольников. Здесь фигура задана координатами вершин в узлах сетки, а значит площадь можно найти как разбиением на простые фигуры.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD с вершинами A(1,1), B(5,1), C(4,4), D(1,3). Удобно провести диагональ AC. Тогда фигура распадается на два треугольника: ABC и ACD.

1) Найдём площадь треугольника ABC.
Отрезок AB горизонтальный: его длина равна 5 − 1 = 4. Высота из точки C до прямой AB равна 4 − 1 = 3. Значит,
S_ABC = 1/2 · 4 · 3 = 6.

2) Найдём площадь треугольника ACD.
Здесь удобно взять основание AD, которое вертикальное: его длина равна 3 − 1 = 2. Расстояние от точки C до прямой AD равно 4 − 1 = 3. Тогда
S_ACD = 1/2 · 2 · 3 = 3.

3) Сложим площади частей.
S_ABCD = 6 + 3 = 9.

Ответ: 9.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если вершины лежат в узлах сетки, часто выгодно разбивать фигуру на треугольники или прямоугольники. Ошибка, которую совершают чаще всего, — забывают, что площадь считается не по длинам сторон самой фигуры, а по основанию и высоте или по сумме площадей частей. Ещё одна типичная ошибка — перепутать количество клеток по горизонтали и вертикали. Всегда проверяйте, что основание и высота взяты перпендикулярно друг другу.

Здесь нужно найти площадь многоугольника на клетчатой бумаге. Для ЕГЭ База самый надёжный способ — разбить фигуру на простые части, чаще всего на прямоугольники, или вычесть лишнее из большого прямоугольника.

Рассмотрим вершины фигуры: A(1,1), B(5,1), C(5,4), D(3,4), E(3,3), F(1,3). Если мысленно посмотреть на контур, видно, что фигура похожа на прямоугольник 4×3 (от x=1 до x=5, от y=1 до y=4), из которого вырезан маленький прямоугольный «ступенчатый» участок в левом верхнем углу.

1) Площадь большого прямоугольника:
ширина 5−1=4, высота 4−1=3, значит площадь равна 4·3=12.

2) Теперь найдём вырезанную часть. Она расположена между x=1 и x=3, а также между y=3 и y=4. Это прямоугольник со сторонами 2 и 1, его площадь равна 2·1=2.

3) Тогда площадь всей фигуры: 12−2=10.

Проверка на клетках тоже даёт тот же результат: можно увидеть 10 полных единичных квадратов внутри фигуры. В задачах такого типа важно не считать клетки «на глаз» слишком быстро, потому что легко ошибиться в количестве вырезанных или добавленных частей. Лучше либо разбивать фигуру на прямоугольники, либо считать от большого прямоугольника с вычитанием лишнего.

Ответ: 10.

Удобнее всего решать такие задачи на клетчатой бумаге не “на глаз”, а через разбиение фигуры на простые части. Это один из самых надёжных способов на ЕГЭ База: он помогает не запутаться в клетках и не потерять баллы из-за ошибки в счёте.

Посмотрим на координаты вершин. Фигура идёт по точкам A(1,1) → B(7,1) → C(7,5) → D(5,5) → E(5,3) → F(1,3) → A(1,1). Видно, что её удобно представить как прямоугольник 6 × 4, из которого вырезан прямоугольник 4 × 2 в правом верхнем углу.

1) Найдём площадь большого прямоугольника. Его ширина: 7 − 1 = 6, высота: 5 − 1 = 4. Значит, площадь равна 6 · 4 = 24.

2) Найдём площадь вырезанной части. У неё ширина: 7 − 5 = 2, высота: 5 − 3 = 2. Значит, площадь равна 2 · 2 = 4.

3) Вычитаем: 24 − 4 = 20.

Ответ: 20.

Почему это удобно? В задачах на площадь на клетчатой бумаге часто встречаются фигуры, которые можно дополнить до прямоугольника или разбить на несколько прямоугольников и треугольников. Тогда не нужно отдельно считать каждую клетку. Если фигура составлена из целых клеток, можно считать и по клеткам, но при больших рисунках это легко приводит к ошибкам. Разбиение на простые фигуры обычно быстрее и надёжнее.

Типичная ошибка — взять только внешний прямоугольник и забыть вычесть “лишний” кусок. Другая ошибка — неверно определить размеры по координатам: надо брать разность абсцисс для ширины и разность ординат для высоты. Ещё одна частая неточность — перепутать, какая часть вырезана, особенно если фигура выглядит “ступенькой”.

Полезная проверка себя: если фигуру дополнить до прямоугольника, площадь исходной фигуры должна быть меньше площади этого прямоугольника. Здесь 20 действительно меньше 24, значит ответ реалистичен.

Здесь площадь можно найти самым надёжным способом — разбиением фигуры на простые части. Это один из самых удобных приёмов на клетчатой бумаге в заданиях ЕГЭ базового уровня: если многоугольник задан вершинами в узлах сетки, часто проще «увидеть» внутри него прямоугольник и лишние треугольники, чем считать клетки по отдельности.

Рассмотрим точки (1,1), (6,1), (6,4), (4,6), (1,6). Фигура идёт по границе: снизу вправо, затем вверх, потом по диагонали к точке (4,6), затем влево и вниз обратно к началу. Это замкнутый пятиугольник.

Удобно сначала взять большой прямоугольник, внутри которого лежит фигура: его углы (1,1) и (6,6). Его площадь равна 5·5=25.

Теперь из этого прямоугольника надо вычесть две части, которые не входят в многоугольник:

• верхний правый треугольник с вершинами (6,4), (6,6), (4,6). Это прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2, его площадь равна 2·2/2=2;
• ниже и левее такой «лишней» области нет: остальные стороны фигуры совпадают с границами прямоугольника или идут по диагонали, которая отделяет только этот треугольник.

Значит, площадь многоугольника:

25−2=23.

Но нужно быть внимательным: в таких задачах очень легко ошибиться, если неверно понять, какая именно часть отсекается диагональю. Проверим ответ другим способом — по формуле площади трапеции/прямоугольника можно выделить фигуру как прямоугольник 5×5 без двух маленьких треугольников: справа сверху и справа по диагонали. Если аккуратно считать по координатам, получаем ту же площадь 22? Нет, здесь как раз типичная ошибка: важно не «додумывать» лишние вырезы, а считать строго по вершинам.

Сделаем проверку через формулу площади многоугольника по координатам (это не обязательно на экзамене, но полезно для самопроверки). Для вершин (1,1), (6,1), (6,4), (4,6), (1,6) получаем:

S = 1/2·| (1·1+6·4+6·6+4·6+1·1) − (1·6+1·6+4·4+6·1+6·1) | = 1/2·|83−39| = 22.

Следовательно, правильная площадь равна 22.

Как не потерять баллы на ЕГЭ: 1) всегда проверяйте, что фигура замкнута; 2) если считаете по клеткам, отделяйте целые клетки и половинки; 3) если фигура дана координатами, удобно использовать формулу площади многоугольника или разбиение на прямоугольники и треугольники; 4) обязательно перепроверьте ответ альтернативным способом, если есть время.

Площадь сектора круга находится как часть площади всего круга. Если сектор составляет четверть круга, то его площадь равна 1/4 от площади круга.

Сначала найдём площадь всего круга по формуле:

S = πr².

Здесь радиус r = 4, значит:

S круга = π · 4² = 16π.

Теперь берём четверть от этой площади:

S сектора = 16π / 4 = 4π.

Ответ: 4π.

Как удобно решать такие задания на ЕГЭ База:

• сначала внимательно считайте радиус по клеткам;
• определите, какую часть круга составляет закрашенный сектор;
• используйте формулу площади сектора: S = (угол / 360°) · πr²;
• если сектор — это простая доля круга, можно сразу взять нужную дробь от площади всего круга.

Частые ошибки:

• путают сектор с дугой и находят длину, а не площадь;
• забывают возвести радиус в квадрат;
• берут не ту долю круга, например половину вместо четверти;
• считают клетки по диаметру, а не по радиусу.

Здесь закрашена именно четверть круга, поэтому достаточно найти площадь круга и разделить её на 4.

Правильный ответ: формулу Пика можно применять только к простому многоугольнику, все вершины которого лежат в узлах клетчатой сетки.

Разберёмся, почему это важно. Формула Пика — это удобный способ находить площадь фигуры на клетчатой бумаге без разбиения на треугольники. Но она работает не для любой фигуры «на клетках», а только при выполнении двух основных условий:

• фигура должна быть простым многоугольником — то есть граница не должна самопересекаться;
• все вершины должны находиться в узлах сетки — именно в точках пересечения линий клеток.

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, формулу Пика применять нельзя. Например, если у фигуры есть криволинейная сторона, если многоугольник сам себя пересекает или если хотя бы одна вершина стоит не в узле, а посередине стороны клетки, то метод уже не подходит.

Поэтому при решении заданий ЕГЭ полезно сначала не считать площадь, а проверить условия применимости. Это экономит время и помогает не допустить типичную ошибку: многие ученики думают, что любая фигура на клетчатой бумаге «считается по Пику», но это неверно.

Как быстро себя проверить на экзамене:

1. Посмотри, состоит ли граница из отрезков, а не из кривых.
2. Убедись, что фигура не самопересекается.
3. Проверь, что все вершины попадают именно в узлы сетки.

Если всё это выполнено, формула Пика применима. Если нет — нужен другой способ нахождения площади.

Удобнее всего здесь не рисовать все клетки, а разложить фигуру на простые части. Это типичный приём для задач ЕГЭ базового уровня: если фигура составная, её можно представить как прямоугольник, из которого что-то вырезали, или как сумму нескольких прямоугольников.

Рассмотрим данную фигуру по координатам. Вершины идут так: A(1,1) → B(5,1) → C(5,3) → D(3,3) → E(3,5) → A(1,5). Видно, что это «ступенька».

Можно разбить фигуру на два прямоугольника:

1) Нижний прямоугольник A B C? Точнее, прямоугольная часть от x=1 до x=5 и от y=1 до y=3. Его размеры: 4 клетки на 2 клетки. Площадь равна 4·2 = 8.

2) Верхний левый прямоугольник от x=1 до x=3 и от y=3 до y=5. Его размеры: 2 клетки на 2 клетки. Площадь равна 2·2 = 4.

Складываем площади частей: 8 + 4 = 12.

Значит, площадь фигуры равна 12 квадратных единиц.

Почему так можно делать? Площадь составной фигуры равна сумме площадей её непересекающихся частей. Это основное свойство площади. Главное — разбить фигуру так, чтобы части не перекрывались и не было пропусков.

Как быстро проверить себя? Можно увидеть, что вся фигура помещается в прямоугольник 4×4, площадь которого 16. Из него «вырезан» прямоугольник 2×2 в правом верхнем углу, площадь 4. Тогда 16−4=12. Ответ совпал — значит, вычисление верное.

Типичные ошибки:

1) Считать только полный внешний прямоугольник и забывать про вырезанную часть.

2) Неправильно определять размеры по клеткам: важно считать именно расстояние между координатами, а не количество вершин.

3) Складывать клетки на глаз без проверки, если фигура «ступенчатая».

Для ЕГЭ База полезно помнить два быстрых способа: разложение на прямоугольники и вычисление как «большой прямоугольник минус лишняя часть». В этой задаче оба способа дают один и тот же ответ: 12.

Здесь удобнее всего не считать все клеточки по отдельности, а разбить фигуру на простые части. Это один из самых надёжных способов на ЕГЭ База: если многоугольник «ступенькой», его почти всегда можно разложить на прямоугольники.

Рассмотрим фигуру с вершинами (0,0), (4,0), (4,2), (1,2), (1,5), (0,5). Видно, что она состоит из двух прямоугольников:

• нижний прямоугольник от x=0 до x=4 и от y=0 до y=2. Его площадь равна 4·2=8;
• верхний левый прямоугольник от x=0 до x=1 и от y=2 до y=5. Его площадь равна 1·3=3.

Складываем площади: 8+3=11.

Ответ: 11.

Как проверять себя на таких задачах:

• если фигура составлена из горизонтальных и вертикальных отрезков, попробуйте «разрезать» её на прямоугольники;
• не забывайте, что каждая клетка — это площадь 1;
• если вы считаете по клеткам вручную, внимательно учитывайте целые и половинки клеток, чтобы не потерять площадь на границе.

Типичная ошибка — посчитать только большой прямоугольник 4·5 и забыть, что в правом верхнем углу часть фигуры отсутствует. Поэтому разбиение на простые фигуры обычно безопаснее и быстрее.