Прикладные задачи (общие приёмы решения): задания с ответами

Используем данную в условии формулу площади треугольника через стороны и радиус описанной окружности:

\(S=\dfrac{abc}{4R}\).

Нам нужно найти сторону \(c\), поэтому выразим её из формулы. Умножим обе части на \(4R\):

\(4RS=abc\).

Теперь разделим обе части на \(ab\):

\(c=\dfrac{4RS}{ab}\).

Подставим числа из условия:

\(c=\dfrac{4\cdot 2\cdot 15}{6\cdot 10}=\dfrac{120}{60}=2\).

Значит, третья сторона равна \(2\).

Ответ: 2.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не забывайте, что в формуле стоит именно \(4R\), а не просто \(R\);
• сначала удобно выразить нужную сторону, а уже потом подставлять числа;
• проверяйте, чтобы ответ был положительным: длина стороны не может быть отрицательной или нулевой.

Если в вариантах ответа встречаются числа, полученные делением только на \(R\) без учёта множителя \(4\), это типичная ошибка, на которую часто попадаются. Поэтому всегда внимательно смотрите на знаменатель формулы.

Здесь нужно использовать теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Записываем соотношение:

\(\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}\)

Подставим известные значения:

\(\dfrac{10}{0{,}5} = \dfrac{b}{0{,}8}\)

Сначала вычислим левую часть:

\(\dfrac{10}{0{,}5} = 20\)

Теперь получаем:

\(20 = \dfrac{b}{0{,}8}\)

Умножаем обе части на 0{,}8:

\(b = 20 \cdot 0{,}8 = 16\)

Ответ: 16.

Как не ошибиться на ЕГЭ: важно не перепутать, какой синус относится к какой стороне. В теореме синусов всегда берут сторону и синус угла напротив неё. Частая ошибка — составить дробь наоборот, например \(\dfrac{a}{\sin \beta}\), хотя угол \(\beta\) не лежит напротив стороны a. Ещё одна типичная ошибка — неверно делить на десятичную дробь: 10 : 0{,}5 = 20, а не 5.

Если хотите быстро проверить себя, можно мысленно сравнить: при большем синусе угол больше, а значит и противолежащая сторона должна быть больше. Здесь 0{,}8 > 0{,}5, значит b должно быть больше 10. Ответ 16 этому соответствует.

Используем теорему синусов. Она связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ.

Сначала важно правильно понять, какая сторона напротив какого угла.

• Сторона AB лежит напротив угла C.
• Сторона BC лежит напротив угла A.

Значит, для сторон AB и BC можно записать:

AB / sin ∠C = BC / sin ∠A.

Подставляем данные:

12 / (3/5) = BC / (4/5).

Теперь выразим BC. Удобно сначала найти левую часть:

12 : (3/5) = 12 · (5/3) = 20.

Получаем:

20 = BC / (4/5).

Умножаем обе части на 4/5:

BC = 20 · (4/5) = 16.

Ответ: 16.

Как не потерять баллы на таких заданиях:

• сначала всегда определяйте, какая сторона напротив какого угла;
• не перепутайте дроби в формуле: к каждой стороне должен стоять именно синус противоположного угла;
• проверяйте, что в ответе получается положительное число;
• если числа дробные, не спешите: сначала удобно сократить выражение, а потом считать.

Типичная ошибка — написать AB / sin A = BC / sin C, то есть перепутать соответствие стороны и угла. Тогда получится неверный ответ, хотя вычисления могут быть выполнены правильно. Поэтому в задачах на теорему синусов главный шаг — не арифметика, а верная запись соответствия.

Используем формулу площади треугольника через три стороны и радиус описанной окружности:

S = (abc)/(4R),

где a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

В задаче даны:

• S = 48,
• R = 4,
• a = 6,
• b = 8.

Нужно найти третью сторону c.

Подставим данные в формулу:

48 = (6 · 8 · c)/(4 · 4).

Сначала упростим числитель и знаменатель:

48 = 48c/16,

то есть

48 = 3c.

Теперь выразим c:

c = 48/3 = 16.

Ответ: 16.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если подставить c = 16 в исходную формулу, получим

S = (6 · 8 · 16)/(4 · 4) = 768/16 = 48,

значит, ответ верный.

Типичные ошибки:

• забывают, что в формуле стоит именно 4R, а не просто R;
• подставляют радиус как диаметр;
• ошибаются при делении дробей или сокращении;
• не выражают неизвестную сторону до конца.

В таких задачах важно сначала аккуратно записать формулу, затем подставить все числа и только после этого искать неизвестную сторону. Это самый надежный способ не потерять балл на базовом экзамене.

Для прямоугольного параллелепипеда объём находится по формуле:

V = a · b · c,

где a, b, c — длины его рёбер. В задаче известны объём V = 480 см³ и два ребра: 8 см и 10 см. Нужно найти третье ребро, обозначим его x.

Подставляем данные в формулу:

480 = 8 · 10 · x.

Сначала перемножим известные числа:

8 · 10 = 80.

Тогда получаем:

480 = 80x.

Чтобы найти x, нужно разделить объём на произведение двух известных рёбер:

x = 480 / 80 = 6.

Ответ: 6.

Какой здесь главный приём? Если в формуле есть произведение трёх множителей, а один из них неизвестен, то его находят делением. Это очень типичный формат для ЕГЭ База: важно не пытаться складывать рёбра, а помнить, что объём прямоугольного параллелепипеда — это именно произведение трёх измерений.

Частые ошибки:

• складывают числа вместо умножения;
• делят объём только на одно ребро, забывая про второе;
• путают, какое число является объёмом, а какое — длиной ребра;
• не проверяют ответ: если умножить 6, 8 и 10, должно получиться 480.

Полезная самопроверка перед сдачей: подставьте найденное значение обратно в формулу и убедитесь, что произведение равно объёму. Это быстрый способ не потерять балл из-за арифметической ошибки.

Здесь проверяется умение выразить неизвестную величину из формулы и аккуратно подставить числа. Это один из самых типичных приёмов в ЕГЭ базового уровня: формула дана, нужно не запутаться в преобразованиях и не потерять коэффициенты.

Дана формула:

R = a / (2 · sin(α)).

Нужно найти a. Чтобы выразить a, умножим обе части равенства на 2 · sin(α):

a = 2 · R · sin(α).

Теперь подставляем известные значения:

a = 2 · 5 · (2/5).

Сократим:

a = 10 · 2/5 = 4.

Ответ: 4.

Почему важно так делать? Если просто подставить числа в исходную формулу без преобразования, легко ошибиться. Самая частая ошибка — забыть множитель 2 в знаменателе или неверно «перенести» дробь. Ещё одна типичная ошибка — вместо умножения на 2 · sin(α) начать делить, из-за чего получается неверный результат.

Как быстро себя проверить на экзамене:

• после преобразования формулы убедитесь, что искомая величина стоит одна;
• следите, чтобы в числителе и знаменателе не потерялся коэффициент 2;
• после вычисления оцените ответ: сторона треугольника должна быть положительным числом, и здесь это действительно так.

Значит, правильный вариант — тот, где указано число 4.

Используем формулу связи стороны треугольника с радиусом описанной окружности и синусом противолежащего угла:

\[ R = \frac{a}{2\sin \alpha}. \]

Здесь нужно найти сторону a, поэтому формулу надо выразить относительно a. Это самый важный шаг в таких заданиях: не подставлять числа сразу, а сначала понять, как выглядит искомая величина.

Из формулы получаем:

\[ a = 2R\sin \alpha. \]

Теперь подставляем известные значения: \(R=10\), \(\sin\alpha=\dfrac12\).

\[ a = 2\cdot 10 \cdot \frac12 = 10. \]

Ответ: 10.

Как не потерять балл:

• не путайте угол и его синус: в формулу подставляется именно \(\sin\alpha\), а не сам угол;
• сначала выразите неизвестную величину из формулы, а потом считайте;
• проверяйте, чтобы длина стороны получилась положительной — это логично для геометрической задачи.

Типичная ошибка — разделить на \(2\sin\alpha\) вместо умножения на него. Если бы так сделали, получилось бы \(a=\dfrac{10}{2\cdot\frac12}=10\) — здесь случайно вышел тот же ответ, но в других числах ошибка обязательно проявится. Поэтому важно понимать именно правило преобразования формулы, а не угадывать по ответу.

Используем формулу площади треугольника через стороны и радиус описанной окружности:

S = (a·b·c) / (4R).

Это одна из типовых формул, которую полезно помнить для ЕГЭ База. В ней S — площадь, a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности. Если известны площадь, радиус и две стороны, то третью сторону можно найти простым преобразованием формулы.

Обозначим неизвестную сторону через x. Тогда подставляем данные:

45 = (9 · 10 · x) / (4 · 5).

Сначала вычислим знаменатель: 4 · 5 = 20, а числитель без x равен 90x. Получаем:

45 = 90x / 20.

Можно упростить дробь: 90/20 = 9/2, значит

45 = (9/2)x.

Теперь выразим x: умножим обе части на 2/9:

x = 45 · 2 / 9 = 10.

Ответ: 10.

Как себя проверить: подставьте найденное значение обратно в формулу:

S = (9 · 10 · 10) / (4 · 5) = 900 / 20 = 45.

Площадь совпала, значит решение верное.

Частые ошибки:

• забывают множитель 4 в знаменателе;
• путают радиус с диаметром и подставляют вместо R число 2R или, наоборот, делят не на то число;
• ошибаются при сокращении дробей;
• не проверяют ответ подстановкой.

Если помнить формулу S = abc/(4R) и аккуратно выразить неизвестную сторону, такие задания решаются быстро и без лишних вычислений.

Здесь нужно обратно применить формулу радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника. Это типичная задача ЕГЭ База: формула дана, а найти нужно не радиус, а другую сторону треугольника.

Дана формула:

r = (x + y - z) / 2, где x и y — катеты, z — гипотенуза.

В задаче известны катеты: x = 12 и y = 5. Нужно найти гипотенузу z.

Сначала подставим известные значения в формулу:

r = (12 + 5 - z) / 2.

Но радиус в условии не дан, значит в таких задачах обычно имеется в виду, что формулу нужно использовать как связь между сторонами, а гипотенуза находится через теорему Пифагора. Однако в этой задаче мы именно проверяем умение работать с формулой и распознавать геометрическую модель: для прямоугольного треугольника гипотенуза выражается как z = x + y - 2r. Если радиус не задан, единственный однозначный способ найти гипотенузу — использовать прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5:

z = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13.

Значит, гипотенуза равна 13.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

• В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катетов.
• Если даны два катета и нужно найти третью сторону, чаще всего используется теорема Пифагора.
• Формула r = (x + y - z) / 2 полезна для проверки или нахождения радиуса, если известны все стороны.

Типичные ошибки:

• Путают катеты и гипотенузу.
• Забывают возвести катеты в квадрат в теореме Пифагора.
• Неправильно считают корень: √169 = 13, а не 12 или 14.

Итак, правильный ответ: 13.

Используем формулу объёма прямоугольного параллелепипеда:

V = a · b · c,

где V — объём, а a, b, c — длины его рёбер.

В задаче даны:

V = 360 см³,

b = 9 см,

c = 8 см.

Нужно найти третье ребро, то есть a. Для этого выражаем его из формулы:

a = V / (b · c).

Подставляем числа:

a = 360 / (9 · 8) = 360 / 72 = 5.

Ответ: 5 см.

Как удобно проверять себя на экзамене: сначала перемножьте известные рёбра, потом разделите объём на полученное число. Если ответ получился слишком большим или нулевым, значит, скорее всего, где-то перепутали умножение и деление. Типичная ошибка — умножить все три числа вместо того, чтобы найти неизвестное ребро. Ещё одна частая ошибка — делить объём только на одно из рёбер, а нужно именно на произведение двух известных размеров.

В заданиях ЕГЭ База такие задачи решаются в один-два шага: вспомнить формулу объёма, подставить данные и аккуратно вычислить неизвестный множитель.

Используем данную в условии формулу для прямоугольного треугольника:

r = (x + y - z) / 2,

где x и y — катеты, z — гипотенуза.

Нам известны:

• r = 7,
• x = 15,
• y = 20.

Подставим числа в формулу:

7 = (15 + 20 - z) / 2.

Сначала сложим катеты:

7 = (35 - z) / 2.

Теперь избавимся от знаменателя: умножим обе части равенства на 2.

14 = 35 - z.

Переносим z в левую часть, а число 14 — в правую:

z = 35 - 14 = 21.

Но нужно проверить, нет ли противоречия с геометрией. Для прямоугольного треугольника гипотенуза должна быть больше каждого катета. Здесь получилось 21, а катеты равны 15 и 20, значит условие выполняется.

Ответ: 21.

Как решать такие задачи на ЕГЭ База: сначала аккуратно записывайте формулу, затем подставляйте числа и только после этого выражайте неизвестную сторону. Частая ошибка — забыть умножить на 2 или неправильно поменять знак при переносе. Чтобы не потерять балл, всегда делайте короткую проверку: гипотенуза должна быть больше катетов и получаться положительным числом.

Для прямоугольного параллелепипеда объём находится по формуле

V = a · b · c,

где a, b, c — длины его рёбер.

В задаче известны объём 96 см³ и два ребра: 4 см и 6 см. Обозначим третье ребро через x. Тогда записываем формулу:

96 = 4 · 6 · x.

Сначала перемножим известные числа:

4 · 6 = 24.

Получаем:

96 = 24x.

Теперь найдём x, разделив объём на произведение двух известных рёбер:

x = 96 / 24 = 4.

Ответ: 4.

Почему именно так? Потому что объём прямоугольного параллелепипеда — это произведение трёх его измерений. Если одно из них неизвестно, его находят обратным действием к умножению: делением на произведение двух известных множителей.

Типичная ошибка на таких задачах — пытаться складывать рёбра или делить объём только на одно число. Правильная схема всегда одна: объём ÷ (произведение двух известных рёбер).

Полезная проверка себя: подставьте найденное значение обратно в формулу. Получится 4 · 6 · 4 = 96, значит ответ верный.