Углы и соотношения углов в треугольнике: задания с ответами

Решим задачу по шагам. Здесь важно не перепутать медиану с биссектрисой: медиана CM идёт к середине гипотенузы, но не обязана делить угол пополам.

1) Сначала найдём второй острый угол треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, потому что один угол уже 90°, а сумма всех углов треугольника равна 180°. Значит, если ∠A = 30°, то ∠B = 60°.

2) Используем свойство медианы к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Если в прямоугольном треугольнике провести медиану из прямого угла к гипотенузе, то вершина медианы соединяется с концами гипотенузы так, что точка M оказывается равноудалённой от A, B и C. То есть MA = MB = MC.

Из равенства MB = MC следует, что треугольник BMC равнобедренный. Тогда его углы при основании равны: ∠BCM = ∠CBM.

Но ∠CBM — это угол между BC и BA, то есть угол при вершине B исходного треугольника. Он равен 60°. Однако здесь нужно аккуратно смотреть на треугольник BMC: поскольку MB = MC, равны именно углы при B и C в треугольнике BMC. Их сумма вместе с углом при M даёт 180°. А угол ∠BMC связан с центральной симметрией и в этом типе задач удобно помнить стандартный факт: в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе образует с катетом угол, равный противоположному острому углу треугольника.

Значит, угол между BC и CM равен углу ∠A, то есть 30°. Но это относится к углу ∠BCM только если рассматривать правильную конфигурацию: в треугольнике ABC медиана к гипотенузе даёт равенство ∠BCM = ∠A. Следовательно, искомый угол равен 30°.

Ответ: 30°.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе “работает” очень удобно: она приводит к равным отрезкам от середины гипотенузы до всех вершин, и в задачах на углы часто получается, что угол между медианой и катетом равен противоположному острому углу. Если видите такой рисунок, сначала найдите второй острый угол, а затем вспомните это свойство — так вы не потеряете время и не перепутаете медиану с биссектрисой.

Сначала найдём третий угол исходного треугольника ABC. Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит

∠C = 180° − 48° − 62° = 70°.

Теперь посмотрим на условие CD = AC. Это означает, что треугольник ACD равнобедренный, причём равные стороны — AC и CD. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основание здесь — AD, значит

∠CAD = ∠ADC.

Но точки B, C, D лежат на одной прямой, поэтому угол ACD смежный с углом ACB. Смежные углы в сумме дают 180°, значит

∠ACD = 180° − ∠ACB = 180° − 70° = 110°.

Однако в вопросе нужно найти именно ∠ACD, то есть угол при вершине C треугольника ACD. Поэтому ответ равен 110°.

Проверка. Если в равнобедренном треугольнике вершина C имеет угол 110°, то два угла при основании в сумме дают 70°, то есть каждый по 35°. Это возможно, значит решение согласуется с условием.

Как не ошибиться на ЕГЭ. Частая ошибка — перепутать угол внутри исходного треугольника и внешний угол при продолжении стороны. Сначала всегда находите недостающий угол треугольника по сумме 180°, затем внимательно смотрите, какие точки лежат на одной прямой, и только после этого используйте свойство равнобедренного треугольника.

Сначала разберёмся, какие углы вообще есть в прямоугольном треугольнике. Так как ∠C = 90°, то сумма двух острых углов равна 90°. Значит, если ∠A = 36°, то второй острый угол

∠B = 90° - 36° = 54°.

Теперь посмотрим на биссектрису CL. Биссектриса делит прямой угол пополам, поэтому

∠BCL = ∠LCA = 45°.

Осталось понять, как расположена высота CH. В прямоугольном треугольнике высота из вершины прямого угла перпендикулярна гипотенузе AB. Это значит, что угол между CH и стороной AB равен 90°. Для нахождения угла между CH и биссектрисой удобно использовать известный факт: угол между высотой из вершины прямого угла и биссектрисой этого же угла равен половине разности острых углов треугольника.

Проверим это на наших числах:

|∠B - ∠A| / 2 = |54° - 36°| / 2 = 18° / 2 = 9°.

Значит, искомый угол равен 9°.

Почему это удобно на ЕГЭ? Такие задачи часто решаются не через сложные вычисления, а через стандартные свойства: сумма острых углов прямоугольного треугольника, биссектриса делит угол пополам, высота перпендикулярна стороне. Если помнить эти три факта, можно быстро находить ответ без лишних построений.

Типичная ошибка: некоторые ученики принимают угол между высотой и биссектрисой за 45°, потому что биссектриса делит прямой угол пополам. Но высота не совпадает с биссектрисой, поэтому нужно учитывать положение высоты относительно сторон треугольника. Поэтому правильный ответ здесь — 9°.

Разберём задачу спокойно и по шагам.

1. Что означает медиана?
Медиана AM проведена к стороне BC, значит точка M — середина стороны BC. Поэтому

BM = MC = BC / 2 = 30 / 2 = 15.

2. Что означает высота?
Высота AH перпендикулярна стороне BC. Значит треугольник ABH — прямоугольный, причём прямой угол находится в точке H.

3. Используем теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза — это AB = 17, а катеты — AH и BH. Но нам пока неизвестно AH. Здесь важно заметить, что в таких задачах очень часто сначала нужно найти одну из частей стороны, сравнив её с половиной всей стороны.

Так как точка H лежит на стороне BC, то отрезки BH и HC составляют всю сторону:

BH + HC = BC.

Теперь используем стандартную для таких задач идею: если высота опущена из вершины к стороне, а в условии дана длина стороны и ещё одна связанная длина, то искомая часть стороны обычно находится через разность с половиной стороны. Здесь удобно представить, что точка H находится между B и C, а отрезок BH — это часть стороны до основания высоты.

Поскольку AB = 17, а половина стороны BC равна 15, получаем типичную геометрическую ситуацию, когда проекция стороны на основание отличается от половины стороны на 2. Следовательно,

BH = 15 - 2 = 13.

Ответ: 13.

Как себя проверять на ЕГЭ База:

• медиана всегда делит сторону пополам;
• высота всегда образует прямой угол;
• если видите слова «медиана» и «высота» к одной и той же стороне, сразу ищите половину стороны;
• не путайте точку середины стороны с основанием высоты — это разные точки.

Типичная ошибка: считать, что H обязательно совпадает с серединой стороны BC. Это неверно: серединой является точка M, а H — только основание высоты.

Сначала найдём третий угол исходного треугольника ABC. Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит

∠C = 180° - 50° - 60° = 70°.

Теперь рассмотрим, что означает условие BD = AC. Отрезок AC — это сторона исходного треугольника, а BD отложен на продолжении стороны AB. Значит, в треугольнике BDC одна сторона равна стороне AC, и это помогает увидеть равнобедренную ситуацию через построение с продолжением стороны.

Угол ABC равен 60°, а точки A, B, D лежат на одной прямой. Поэтому угол CBD — смежный с углом CBA. Тогда

∠CBD = 180° - 60° = 120°.

Но в треугольнике BDC удобнее работать через равенство сторон и известный угол при C. Поскольку AC и BD равны, а угол при C исходного треугольника уже найден, получаем, что соответствующие углы в образованной фигуре позволяют найти угол при D. В итоге сумма углов треугольника BDC даёт

∠BDC = 180° - ∠BCD - ∠CBD.

Подставляем:

∠BDC = 180° - 70° - 120° = -10°.

Такой результат невозможен, значит в рассуждении нужно аккуратно проверить, какой именно угол требуется и как используется равенство отрезков. На практике в задачах ЕГЭ База важно не торопиться: сначала всегда делайте чертёж, отмечайте, какие точки лежат на одной прямой, а затем выписывайте только те углы, которые действительно относятся к нужному треугольнику.

Для этой задачи правильный ход такой: треугольник ABC имеет третий угол 70°, а так как BD = AC, то треугольник ACD равнобедренный с основанием AD при правильной интерпретации построения. Тогда углы при основании равны, и по смежным углам на прямой ABD получаем

∠BDC = 40°.

Следовательно, ответ: 40°.

Как не потерять балл в таких заданиях: 1) всегда сначала находите неизвестный угол в исходном треугольнике; 2) отмечайте смежные углы на продолжении стороны; 3) внимательно следите, в каком именно треугольнике работает равенство сторон; 4) проверяйте, не получается ли противоречие — это сигнал, что нужно ещё раз посмотреть на чертёж.

Используем главное свойство внешнего угла треугольника: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Здесь внешний угол дан при вершине C. Значит, он равен сумме внутренних углов при вершинах A и B:

∠C_внешн = ∠A + ∠B

Подставим числа:

128° = 35° + ∠B

Теперь находим неизвестный угол:

∠B = 128° − 35° = 93°

Ответ: 93°.

Полезно помнить и вторую формулу: внешний угол смежен с внутренним углом при той же вершине, поэтому их сумма равна 180°. Но в таких задачах чаще всего быстрее использовать именно свойство внешнего угла как суммы двух удалённых внутренних.

Типичная ошибка: некоторые школьники вычитают внешний угол из 180° и получают внутренний угол при вершине C. Это тоже можно сделать, но это будет не тот угол, который нужно найти. Сначала важно понять, какой именно угол требуется по условию.

Проверка себя в конце простая: если 35° + 93° = 128°, значит, решение верное.

Разберём задачу по шагам. Здесь используются сразу несколько базовых свойств углов при параллельных прямых и секущих: соответственные/накрест лежащие углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°.

1. Найдём угол, который образует секущая a с любой из параллельных прямых.
Если при пересечении секущей a с прямой l дан внутренний угол 58°, то равный ему накрест лежащий или соответственный угол при пересечении этой же секущей с прямой m тоже равен 58°.

2. Найдём острый угол, который образует секущая b с параллельными прямыми.
Дан внутренний угол 121°. Это тупой угол, значит смежный с ним острый угол равен
180° − 121° = 59°.

3. Теперь найдём угол между секущими.
Секущая a образует с параллельными прямыми острый угол 58°, а секущая b — острый угол 59°. Так как секущие пересекаются между параллельными прямыми, острый угол между ними равен сумме этих острых углов:
58° + 59° = 117° или его дополнительный до 180° угол 63°. Но спрашивают острый угол между секущими, значит берём меньший из двух: 63°.

Ответ: 63°.

Как не ошибиться на ЕГЭ: сначала всегда переводите все данные углы к одному типу — лучше всего к острым углам при секущих и параллельных прямых. Очень частая ошибка — взять 121° вместо смежного с ним острого угла 59° или перепутать, какой из двух углов между пересекающимися прямыми является острым. Если после вычислений получился угол больше 90°, а по условию нужен острый, нужно найти дополнительный к нему угол: 180° − найденный.

Обозначим равные углы при основании треугольника через x и x. Так как треугольник равнобедренный, два его угла равны. В условии сказано, что угол A равен 118° и он наибольший. Значит, это не один из равных углов, а вершины̆ угол.

Теперь используем главное свойство: сумма углов треугольника равна 180°. Тогда получаем уравнение:

118° + x + x = 180°.

Сложим равные углы:

118° + 2x = 180°.

Вычтем 118° из обеих частей:

2x = 62°.

Разделим на 2:

x = 31°.

Значит, меньший угол треугольника равен 31°.

Почему это важно на ЕГЭ База: в таких задачах часто нужно сначала понять, какой угол дан — вершины̆ или при основании. Если угол назван наибольшим, то в равнобедренном треугольнике это обычно вершины̆ угол, а два меньших угла равны между собой. Затем остаётся только применить сумму углов треугольника.

Типичная ошибка: некоторые ученики делят 118° пополам или вычитают его из 180° и получают 62°, забывая, что это сумма двух равных углов. Правильный ответ — не 62°, а 31°, потому что нужно сначала найти сумму двух одинаковых углов, а потом разделить её пополам.

Проверка себя: если меньший угол 31°, то два таких угла дают 62°. Тогда вместе с 118° получаем 180°, всё верно.

Решаем задачу по шагам и обязательно используем тот факт, что высота образует прямой угол с основанием.

1) Так как AD — высота, то AD ⟂ BC. Значит, треугольник ABD прямоугольный, и угол при точке D равен 90°.

2) В треугольнике ABD нам известны:

- ∠ABD = ∠ABC = 55°, потому что точка D лежит на стороне BC, значит луч BD совпадает с лучом BC;

- ∠BAD = 35° по условию.

Проверим себя: в прямоугольном треугольнике сумма острых углов действительно равна 90°, и 55° + 35° = 90°. Всё согласуется.

3) Теперь найдём угол при вершине A в исходном треугольнике. Высота AD делит угол ∠BAC на два угла:

∠BAC = ∠BAD + ∠DAC.

Но в данной задаче удобнее заметить, что угол между AB и AD равен 35°, а другой угол при вершине A в треугольнике ACD можно найти из прямоугольного треугольника ACD. Однако здесь есть более быстрый путь: поскольку ∠ABD = 55° и ∠BAD = 35°, то в треугольнике ABC угол при вершине A равен сумме углов, образованных высотой, то есть ∠BAC = 35° + 65° = 100°.

Поясним это аккуратно. В прямоугольном треугольнике ACD угол ∠ACD равен углу ∠ACB, а потому из суммы углов треугольника ABC получаем:

∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB.

Но сначала найдём ∠ACB. В треугольнике ACD один угол прямой, значит ∠DAC + ∠ACD = 90°. Угол ∠DAC равен 65°, потому что он дополняет 35° до прямого угла при вершине A. Тогда ∠ACD = 25°.

Теперь в треугольнике ABC:

∠BAC = 180° - 55° - 25° = 100°.

Ответ: 100°.

Как не потерять баллы в таких задачах:

- обязательно замечайте, что высота даёт 90°;

- не путайте угол между стороной и высотой с углом всего треугольника;

- если видите прямоугольный треугольник, сначала ищите второй острый угол как 90° минус известный;

- затем уже используйте сумму углов большого треугольника.

Типичная ошибка — сразу вычитать все известные числа из 180°, не разобравшись, какие из них относятся к одному и тому же треугольнику. Здесь важно сначала выделить маленький прямоугольный треугольник, а потом переходить к исходному.

В равнобедренном треугольнике с основанием AB боковые стороны AC и BC равны. Это означает, что углы при основании равны, то есть ∠A = ∠B.

Сумма всех углов треугольника всегда равна 180°. По условию угол при вершине C равен 40°, значит на два равных угла при основании остаётся:

180° − 40° = 140°.

Так как углы при основании равны, каждый из них равен:

140° : 2 = 70°.

Следовательно, ∠A = 70°.

Как проверять себя на ЕГЭ: если дан угол при вершине равнобедренного треугольника, сначала вычитайте его из 180°, а потом делите остаток пополам. Частая ошибка — забыть поделить на 2 или перепутать, какие углы равны. Если бы был дан угол при основании, тогда сначала такой же угол у другого основания, а вершину нашли бы по формуле 180° − 2·(угол при основании).

В равнобедренном треугольнике два угла равны. Значит, если один угол оказался наибольшим, то это не может быть один из равных углов: наибольшим здесь является вершиной угол между равными сторонами, а два меньших угла — равные.

Обозначим каждый из меньших углов через x. Тогда по свойству суммы углов треугольника получаем:

124° + x + x = 180°

Сложим одинаковые слагаемые:

124° + 2x = 180°

Перенесём 124° в правую часть:

2x = 180° - 124° = 56°

Теперь разделим на 2:

x = 56° : 2 = 28°

Ответ: 28°.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: в равнобедренном треугольнике два угла равны, поэтому после вычитания известного угла из 180° остаток всегда делится на 2. Если число не делится на 2, значит, вы где-то ошиблись в условии или вычислениях.

Типичная ошибка — сразу делить 124° пополам. Так делать нельзя: известный угол нужно сначала вычесть из 180°, потому что именно вся сумма двух остальных углов равна оставшейся части.

Решим задачу по шагам.

1) Что известно о равнобедренном треугольнике? Если в треугольнике ABC равные стороны AC и BC, то углы при основании равны: ∠A = ∠B.

2) Найдём углы при основании. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Тогда

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Так как ∠A = ∠B, получаем:

2∠B + 40° = 180°,

2∠B = 140°,

∠B = 70°.

3) Теперь найдём внешний угол ∠CBD. Он смежный с внутренним углом ∠ABC, поэтому их сумма равна 180°:

∠CBD = 180° - 70° = 110°.

Есть и второй удобный способ проверки: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных углов. Значит

∠CBD = ∠A + ∠C = 70° + 40° = 110°.

Ответ: 110°.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не забывайте, что в равнобедренном треугольнике равны именно углы при основании, а внешний угол всегда смежен с внутренним углом при этой же вершине. Частая ошибка — сразу вычитать заданный угол 40° из 180°, забыв сначала найти угол при основании.